Question

3．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，BC=12cm，AD=8cm．點P從點B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點C勻速運動，與此同時，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB，AC，AD于E，F(xiàn)，H，當(dāng)點P到達點C時，點P與直線m同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒（t＞0）．

（1）連接DE、DF，當(dāng)t為何值時，四邊形AEDF為菱形？
（2）連接PE、PF，在整個運動過程中，△PEF的面積是否存在最大值？若存在，試求當(dāng)△PEF的面積最大時，線段BP的長．
（3）是否存在某一時刻t，使點F在線段EP的中垂線上？若存在，請求出此時刻t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形AEDF為菱形，則EF垂直平分AD，此時，DH=$\frac{1}{2}$AD=4cm，再根據(jù)直線m以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，即可求得t=$\frac{4}{2}$=2（s）；
（2）先根據(jù)EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，進而得出$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AH}{AD}$，據(jù)此求得EF=12-3t，再根據(jù)S_△PEF=$\frac{1}{2}$EF•DH=$\frac{1}{2}$（12-3t）•2t=-3t²+12t=-3（t-2）²+12（0＜t≤4），求得當(dāng)t=2秒時，S_△PEF存在最大值，最大值為12cm²，最后計算線段BP的長；
（3）若點F在線段EP的中垂線上，則FE=FP，過點F作FG⊥BC于G，則FG=HD=2t，F(xiàn)G∥AD，根據(jù)△FCG∽△ACD，得到$\frac{CG}{CD}$=$\frac{FG}{AD}$，進而得到CG=$\frac{3}{2}$t，PG=12-3t-$\frac{3}{2}$t，最后在Rt△PFG中，根據(jù)勾股定理列出方程（12-3t-$\frac{3}{2}$t）²+（2t）²=（12-3t）²，即可求得t的值．

解答 解：（1）如圖1，若四邊形AEDF為菱形，則EF垂直平分AD，
此時，DH=$\frac{1}{2}$AD=4cm，
又∵直線m以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，
∴t=$\frac{4}{2}$=2（s），
此時，EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF．
∵AB=AC，AD⊥BC于點D，
∴AD⊥BC，∠B=∠C．
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，
即四邊形AEDF為菱形，
故當(dāng)t=2s時，四邊形AEDF為菱形；

（2）如圖2，∵直線m以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，AD=8cm，
∴DH=2t，AH=8-2t，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AH}{AD}$，即$\frac{EF}{12}$=$\frac{8-2t}{8}$．
解得EF=12-3t，
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}$EF•DH=$\frac{1}{2}$（12-3t）•2t=-3t²+12t=-3（t-2）²+12（0＜t≤4），
∴當(dāng)t=2秒時，S_△PEF存在最大值，最大值為12cm²，
此時BP=3t=6cm；

（3）存在某一時刻t，使點F在線段EP的中垂線上．
∵AB=AC，AD⊥BC，BC=12cm，AD=8cm，
∴AB=AC=10cm，
若點F在線段EP的中垂線上，則FE=FP，
由（2）可得，EF=12-3t=PF，
如圖3，過點F作FG⊥BC于G，則FG=HD=2t，F(xiàn)G∥AD，
∴△FCG∽△ACD，
∴$\frac{CG}{CD}$=$\frac{FG}{AD}$，即$\frac{CG}{6}$=$\frac{2t}{8}$，
∴CG=$\frac{3}{2}$t，
又∵BP=3t，BC=12cm，
∴PG=12-3t-$\frac{3}{2}$t，
∴Rt△PFG中，（12-3t-$\frac{3}{2}$t）²+（2t）²=（12-3t）²，
解得t₁=$\frac{144}{61}$或t₂=0（舍去），
∴當(dāng)t=$\frac{144}{61}$時，點F在線段EP的中垂線上．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積及二次函數(shù)的極值，勾股定理以及解方程等知識點的綜合應(yīng)用，作輔助線構(gòu)造相似三角形，并利用相似三角形的性質(zhì)表示出EF的長是解題的關(guān)鍵．