Question

某供電部門準備在輸電主干線l上連接一個分支線路，分支點為M，同時向新落成的A、B兩個居民小區(qū)送電．已知居民小區(qū)A、B分別到主干線l的距離AA₁＝2千米，BB₁＝1千米，且A₁B₁＝4千米．

(1)如果居民小區(qū)A、B在主干線l的兩旁，如圖1所示，那么分支點M在什么地方時總線路最短？最短線路的長度是多少千米？

(2)如果居民小區(qū)A、B在主干線l的同旁，如圖2所示，那么分支點M在什么地方時總線路最短？此時分支點M與A₁的距離是多少千米？

Answer 1

答案：
解析：

(1)法一：連結AB，AB與l的交點就是所求分支點M． 　　分支點開在此處，總線路最短． 　　∵∠BB1M=∠AA1M=(已知)，∠BMB1=∠AMA1(對頂角相等)，∴△B1BM∽△A1AM． 　　∴，即． 　　解得A1M=．由勾股定理，得AB=AM＋BM==5． 　　所以分支點M在線段A1B1上且距A點千米處，最短線路的長度為5千米． 　　法二：連結AB，AB與l的交點就是所求分支點M．分支點開在此處，總線路最短． 　　過B點作l的平行線，與AA1的延長線交于P點，如圖，則∠APB=，P=A1B1=44，AP=A1A＋B1B=3． 　　在Rt△APB中，根據勾股定理，得AB==5．所以最短線路的長度為5千米； 　　(2)如圖作B點關于直線l的對稱點B2，連結AB2交直線l于點M，此處即為分支點，由(1)知，A1M長度為千米．