Question

直線l經過A（1，0）且與雙曲線y=

m

x

(x＞0)在第一象限交于點B（2，1），過點P（p+1，p-1）（p＞1）作x軸的平行線分別交于雙曲線y=

m

x

(x＞0)和y=-

m

x

（x＜0）于M，N兩點，
（1）求m的值及直線l的解析式；
（2）直線y=-x-3與x軸、y軸分別交于點C、D，點E在直線y=-x-3上，且點E在第三象限，使得

CE

ED

=2，平移線段ED得線段HQ（點E與H對應，點D與Q對應），使得H、Q恰好都落在y=

m

x

的圖象上，求H、Q兩點坐標．
（3）是否存在實數p，使得S_△AMN=4S_△APM？若存在，求所有滿足條件的p的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點B（2，1）代入y=

m

x

(x＞0)，即可求出m的值，從而得到反比例函數的解析式；將點A（1，0），點B（2，1）分別代入y=kx+b，即可求出l的解析式；
（2）根據題意可得D點的橫坐標比E點的橫坐標大1，D點的縱坐標比E點的縱坐標小1；根據平移的性質可得H點的橫坐標比Q點的橫坐標大1，H點的縱坐標比Q點的縱坐標小1，可設H點的坐標為（u，v），表示出Q點的坐標，根據H、Q恰好都落在y=

m

x

的圖象上，可得方程組求解即可；
（3）由于P點坐標為（p+1，p-1），則點M、N的縱坐標都為p-1，得到M（

2

p-1

，p-1），N（-

2

p-1

，p-1），可得MN=

4

p-1

，計算出S_△AMN=

1

2

•

4

p-1

•（p-1）=2，當p＞1時，S_△APM=

1

2

（p+1-

2

p-1

）（p-1）=

1

2

（p²-3），利用S_△AMN=4S_△APM，得到4×

1

2

（p²-3）=2，然后解方程得到p₁=-

3

（不合題意，舍去），p₂=

3

．

解答：解：（1）由點B（2，1）在y=

m

x

上，有1=

m

2

，即m=2．
設直線l的解析式為y=kx+b，
由點A（1，0），點B（2，1）在y=kx+b上，
得

k+b=0 2k+b=1

，
解得

k=1 b=-1

，
故所求直線l的解析式為y=x-1；

（2）∵直線y=-x-3與x軸、y軸分別交于點C、D，點E在直線y=-x-3上，且點E在第三象限，使得

CE

ED

=2，
∴D點的橫坐標比E點的橫坐標大1，D點的縱坐標比E點的縱坐標小1；
∴H點的橫坐標比Q點的橫坐標大1，H點的縱坐標比Q點的縱坐標小1，
設H點的坐標為（u，v），Q點的坐標（u+1，v-1），則

uv=2 (u+1)(v-1)=2

，
解得

u1=1 v1=2

，

u2=-2 v2=-1

（不合題意舍去），
則H點的坐標為（1，2），Q點的坐標（2，1）；

（3）存在．理由如下：
∵P點坐標為（p+1，p-1），MN∥x軸，
∴點M、N的縱坐標都為p-1，
∴M（

2

p-1

，p-1），N（-

2

p-1

，p-1），可得MN=

4

p-1

，
∴S_△AMN=

1

2

•

4

p-1

•（p-1）=2，
當p＞1時，S_△APM=

1

2

（p+1-

2

p-1

）（p-1）=

1

2

（p²-3），
∵S_△AMN=4S_△APM，
∴4×

1

2

（p²-3）=2，
解得p₁=-2（不合題意，舍去），p₂=2．
∴滿足條件的p的值為2．

點評：本題考查了反比例函數綜合題，學會待定系數法求函數解析式，平移的性質，解方程組以及會計算三角形的面積的知識．注意點在反比例函數圖象上，點的橫縱坐標滿足其解析式．