Question

（2010•高淳縣二模）如圖，已知矩形ABCD．
（1）在圖中作出△CDB沿對(duì)角線BD所在直線對(duì)折后的△C′DB，C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，簡(jiǎn)要寫(xiě)明作法，不要求證明）；
（2）設(shè)C′B與AD的交點(diǎn)為E．
①若DC=3cm，BC=6cm，求△BED的面積；
②若△BED的面積是矩形ABCD的面積的，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別以B、D為圓心，以BC、CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)C′；
（2）①根據(jù)折疊對(duì)稱(chēng)性和平行線的性質(zhì)∠C′BD=∠EDB，所以BE=ED，在△ABE中利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；
②根據(jù)三角形與矩形的面積關(guān)系求出ED與AD的關(guān)系，從而得到ED=2AE，所以∠ABE=30°，又∠CBD=∠EDB，所以∠CBD=30°，就等于30°角的正切值．
解答：解：（1）作法：分別以點(diǎn)B、D為圓心，BC、CD半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C′，使點(diǎn)C′與點(diǎn)C分別在直線BD的兩側(cè)．

（2）①由折疊可知，∠CBD=∠C′BD，
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠C′BD=∠EDB，
∴BE=ED，（3分）
設(shè)BE=x，則ED=x，AE=AD-ED=6-x，
在Rt△ABE中，AE²+AB²=BE²，（4分）
即：（6-x）²+9=x²
解得：x=（5分）
所以△BED的面積為×ED×AB=××3=；（6分）

②∵△BED的面積是矩形ABCD的面積的，
∴=，
即=，（7分）
法1：∴=，
∴在Rt△ABE中，∠ABE=30°，（8分）
從而∠DBC=30°，
∴=tan30°=．（9分）
法2：設(shè)AE=m，得BE=2m，AD=3m，（7分）
AB=m（8分）得=．（9分）
點(diǎn)評(píng)：本題利用翻折前后圖形全等的性質(zhì)，矩形的對(duì)邊平行、四個(gè)角都是直角的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．