Question

【題目】已知拋物線y1＝﹣x2+mx+n，直線y2＝kx+b，y1的對(duì)稱(chēng)軸與y2交于點(diǎn)A（﹣1，5），點(diǎn)A與y1的頂點(diǎn)B的距離是4．

（1）求y1的解析式；

（2）若y2隨著x的增大而增大，且y1與y2都經(jīng)過(guò)x軸上的同一點(diǎn)，求y2的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y1=﹣x2﹣2x或y1=﹣x2﹣2x+8；（2）y2=x+．

【解析】

（1）根據(jù)題意求得頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)頂點(diǎn)公式即可求得m、n，從而求得y1的解析式；

（2）分兩種情況討論：當(dāng)y1的解析式為y1=-x2-2x時(shí)，拋物線與x軸的交點(diǎn)（0，0）或（-2，0），y2經(jīng)過(guò)（-2，0）和A，符合題意；

當(dāng)y1=-x2-2x+8時(shí)，解-x2-2x+8=0求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)A的坐標(biāo)和y2隨著x的增大而增大，求得y1與y2都經(jīng)過(guò)x軸上的同一點(diǎn)（-4，0），然后根據(jù)待定系數(shù)法求得即可．

（1）∵拋物線y1=-x2+mx+n，直線y2=kx+b，y1的對(duì)稱(chēng)軸與y2交于點(diǎn)A（-1，5），點(diǎn)A與y1的頂點(diǎn)B的距離是4．

∴B（-1，1）或（-1，9），

∴-=-1，=1或9，

解得m=-2，n=0或8，

∴y1的解析式為y1=-x2-2x或y1=-x2-2x+8；

（2）①當(dāng)y1的解析式為y1=-x2-2x時(shí)，拋物線與x軸交點(diǎn)是（0.0）和（-2.0），

∵y1的對(duì)稱(chēng)軸與y2交于點(diǎn)A（-1，5），

∴y1與y2都經(jīng)過(guò)x軸上的同一點(diǎn)（-2，0），

把（-1，5），（-2，0）代入得，

解得，

∴y2=5x+10．

②當(dāng)y1=-x2-2x+8時(shí)，解-x2-2x+8=0得x=-4或2，

∵y2隨著x的增大而增大，且過(guò)點(diǎn)A（-1，5），

∴y1與y2都經(jīng)過(guò)x軸上的同一點(diǎn)（-4，0），

把（-1，5），（-4，0）代入得，

解得，

∴y2=x+．