Question

如圖所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，點P、Q分別在邊AB、BC上，且AP＝BQ.

(1)求證：△BDQ≌△ADP；

(2)已知AD＝3，AP＝2，求cos∠BPQ的值 (結果保留根號)

 

Answer 1

【答案】

（1）證明可得 ∴△BDQ≌△ADP（SAS）（2）

【解析】

試題分析：(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∵∠A＝60°，

∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝AD，∠ABD＝60° 

∵AD∥BC，∴∠DBQ＝60° 

在△BDQ與△ADP中，

∵ ∴△BDQ≌△ADP（SAS） 

（2)解：∵△BDQ≌△ADP，∴∠BDQ＝∠ADP，DQ＝DP，∴∠PDQ＝∠ADB＝60°.

∴△DPQ是等邊三角形．∴∠DPQ＝60°

∵∠DPQ＋∠BPQ＝∠A＋∠ADP，∴∠BPQ＝∠ADP 

過點P作PM⊥AD于M，在Rt△APM中，PM=AP.sin∠A=2sin60⁰=,

AM=AP.cos60⁰=1,∴DM="3-1=2," 在Rt△PDM中,PD=

cos∠ADP==, ∴cos∠BPQ =cos∠ADP 

考點：全等三角形，三角函數(shù)

點評：本題考查全等三角形，三角函數(shù)，解答本題要求考生掌握三角形全等的判定方法，會證明兩個三角形全等，熟悉三角函數(shù)的定義