Question

如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，E是邊AB上一動點，過點E作EF⊥AB交AD的延長線于點F，交BD于點M．
（1）請判斷△DMF的形狀，并說明理由．
（2）設EB=x，△DMF的面積為y，求y與x之間的函數關系式．并寫出x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）△DMF是等腰三角形．理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=AD，
∵∠A=60°，
∴∠ABD=60°，
∵EF⊥AB，
∴∠F=30°，∠DMF=∠EMB=30°，
∴∠F=∠DMF，
∴DM=DF，
∴△DMF是等腰三角形．

（2）EB=x，則AE=4-x，由tan60°=，則EF=（4-x），EN=2，
∴NF=EF-EN=（2-x），FM=2（2-x）．
∵MN=NF=（2-x），
∴DN=MNtan30°=2-x，
∴y=FM•DN=（2-x）×2（2-x）=（2-x）²，（0≤x＜2）．
分析：（1）△DMF是等腰三角形．主要利用菱形ABCD中，∠A=60這個條件得到∠E、∠DMF的度數來判斷；
（2）不能直接表示△DMF的面積，采用面積分割法，用△AEF、△BEM來表示它．
點評：此題主要考查等腰三角形的判定，菱形的性質，以及三角形的面積公式．