(2011•天河區(qū)一模)如圖1,拋物線y=ax2+bx(a>0)與雙曲線相交于點(diǎn)A,B.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4),點(diǎn)B在第三象限內(nèi),且△AOB的面積為3(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求實(shí)數(shù)a,b,k的值;
(2)如圖2,過拋物線上點(diǎn)A作直線AC∥x軸,交拋物線于另一點(diǎn)C,求所有滿足△COE∽△BOA的點(diǎn)E的坐標(biāo)(提示:C點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為B).

【答案】分析:(1)根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo),易求得k的值,進(jìn)而可確定雙曲線的解析式;可根據(jù)雙曲線的解析式設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo),根據(jù)A、B的坐標(biāo),可得到直線AB的解析式,進(jìn)而可得到此直線與y軸交點(diǎn)(設(shè)為M)坐標(biāo),以O(shè)M為底,A、B縱坐標(biāo)差的絕對值為高,即可表示出△BOA的面積,已知此面積為3,即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo),從而利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式,即可得到a、b、k的值.
(2)易求得B(-2,-2),C(-4,-4),若設(shè)拋物線與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為D,那么∠COD=∠BOD=45°,即∠COB=90°,由于兩個(gè)三角形無法發(fā)生直接聯(lián)系,可用旋轉(zhuǎn)的方法來作輔助線;
①將△BOA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,此時(shí)B1(B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn))位于OC的中點(diǎn)位置上,可延長OA至E1,使得OE=2OA1,那么根據(jù)三角形中位線定理即可得到B1A1∥CE,那么E1就是符合條件的點(diǎn)E,A1的坐標(biāo)易求得,即可得到點(diǎn)E1的坐標(biāo);
②參照①的方法,可以O(shè)C為對稱軸,作△B1OA1的對稱圖形△B1OA2,然后按照①的思路延長OA2至E2,即可求得點(diǎn)E2的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵反比例函數(shù)經(jīng)過A(1,4),
∵k=1×4=4,即y=
設(shè)B(m,),已知A(1,4),可求得
直線AB:y=-x+4+;
∵S△BOA=×(4+)×(1-m)=3,
∴2m2+3m-2=0,
即m=-2(正值舍去);
∴B(-2,-2).
由于拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn),則有:
,
解得
∴y=x2+3x.
故a=1,b=3,k=4.

(2)設(shè)拋物線與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為D;
∵直線AC∥x軸,且A(1,4),
∴C(-4,4);
已求得B(-2,-2),則有:
∠COD=∠BOD=45°,即∠BOC=90°;
①將△BOA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△B1OA1,作AM⊥x軸于M,作A1N⊥x軸于N.
∵A的坐標(biāo)是(1,4),即AM=4,OM=1,
∵∠AOM+∠NOA1=90°,∠OAM+∠AOM=90°
∴∠OAM=∠NOA1
又∵OA=OA1,∠AMO=∠A1NO
∴△AOM≌△OA1N,
∴A1N=OM=1,ON=AM=4
∴A1的坐標(biāo)是(4,-1),
此時(shí)B1是OC的中點(diǎn),延長OA1至E1,使得OE=2OA1,
則△COE1∽△B1OA1∽△BOA;
則E1(8,-2);
②以O(shè)C所在直線為對稱軸,作△B1OA1的對稱圖形△B1OA2,
延長OA2至E2,使得OE2=2OA2,
則△COE2≌△COE1∽△BOA;
易知A2(1,-4),則E2(2,-8);
故存在兩個(gè)符合條件的E點(diǎn),且坐標(biāo)為E1(8,-2),E2(2,-8).
點(diǎn)評:此題考查了反比例函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定,圖形面積的求法,相似三角形的判定等知識(shí).難點(diǎn)在于(2)題的輔助線作法,能夠發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°,并能通過旋轉(zhuǎn)作出相似三角形是解決問題的關(guān)鍵.
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