Question

已知：矩形ABCD中，延長(zhǎng)BC至E，使BE=BD，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，連結(jié)AF、CF．
（1）求證：CF⊥AF；
（2）若AB=10cm，BC=16cm，求△ADF的面積．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接BF，在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，
∵F為DE的中點(diǎn)，
∴CF=DF，
∴∠CDF=∠DCF，
∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，
即∠ADF=∠BCF，
在△ADF和△BCF中，
，
∴△ADF≌△BCF（SAS），
∴∠AFD=∠BFC，
∵BE=BD，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，
∴BF⊥DE，
∴∠AFC=∠AFB+∠BFC=∠AFC+∠AFD=90°，
∴CF⊥AF；

（2）解：∵△ADF≌△BCF，
∴點(diǎn)F到AD、BC的距離相等，
∵AB=10cm，
∴點(diǎn)F到AB的距離為×10=5cm，
∴△ADF的面積=×16×5=40cm²．
分析：（1）連接BF，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CF=DF，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠CDF=∠DCF，然后求出∠ADF=∠BCF，利用“邊角邊”證明△ADF和△BCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AFD=∠BFC，再根據(jù)等腰三角形三線合一可得BF⊥DE，然后求出∠AFC=90°，即可得證；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等可得點(diǎn)F到AD、BC的距離相等，都是AB的一半，然后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出∠ADF=∠BCF是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．