Question

如圖，OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=3．
（1）在A(yíng)B邊上取一點(diǎn)D，將紙片沿OD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，求點(diǎn)D，E的坐標(biāo)；
（2）若過(guò)點(diǎn)D，E的拋物線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)F（-5，0），求拋物線(xiàn)的解析式和對(duì)稱(chēng)軸方程；
（3）若（2）中的拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)H，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使△PFH的內(nèi)心在坐標(biāo)軸上？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）若（2）中的拋物線(xiàn)與y軸相交于點(diǎn)H，點(diǎn)Q在線(xiàn)段OD上移動(dòng)，作直線(xiàn)HQ，當(dāng)點(diǎn)Q移動(dòng)到什么位置時(shí)，O，D兩點(diǎn)到直線(xiàn)HQ的距離之和最大？請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)及直線(xiàn)HQ的解析式．

Answer 1

分析：（1）本題可根據(jù)折疊的性質(zhì)來(lái)求解．根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出OE=OA，可在直角三角形OCE中，用勾股定理求出CE的長(zhǎng)，也就求出了E點(diǎn)的坐標(biāo)．在直角三角形DBE中，還是根據(jù)折疊的性質(zhì)，DA=DE，DB=3-DE，而B(niǎo)E可根據(jù)OA和CE的長(zhǎng)求出，因此根據(jù)勾股定理即可求出DE即AD的長(zhǎng)，也就得出了D點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)D、E、F的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式，進(jìn)而可求出其對(duì)稱(chēng)軸的方程．
（3）當(dāng)內(nèi)心在y軸上時(shí)，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知：y軸正好是∠PHF的角平分線(xiàn)，那么∠PHO=∠FHO=45°，設(shè)PH與x軸的交點(diǎn)為M，易知三角形OMH為等腰直角三角形，由此可求出M的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線(xiàn)PH的解析式，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
當(dāng)內(nèi)心在x軸上時(shí)，解法同上．
（4）根據(jù)“直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)連接的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短”可知，當(dāng)直線(xiàn)HQ⊥OD時(shí)，O，D兩點(diǎn)到直線(xiàn)HQ的距離之和最大，此時(shí)點(diǎn)Q為垂足．利用三角形相似可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）依題意，OE=OA=5，
在Rt△OCE中，CE²=OE²-OC²=5²-3²=4²，
∴CE=4．
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，y），
則AD=DE=y，BD=3-y，BE=5-4=1．
在Rt△BED中，ED²=EB²+BD²，
∴y²=12+（3-y）²，
解得y=

5

3

，
∴點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為（5，

5

3

），（4，3）．

（2）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)D（5，

5

3

），E（4，3），F(xiàn)（-5，0），
∴

25a+5b+c= 5 3 16a+4b+c=3 25a-5b+c=0

，
解得

a=- 1 6 b= 1 6 c=5

，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-

1

6

x²+

1

6

x+5．
對(duì)稱(chēng)軸的方程為x=-

b

2a

=-

1 6

2×(- 1 6 )

=

1

2

．
∴對(duì)稱(chēng)軸的方程為x=

1

2

．

（3）存在這樣的P點(diǎn)，使△PFH的內(nèi)心在坐標(biāo)軸上．
①若△PFH的內(nèi)心在y軸上，設(shè)直線(xiàn)PH與x軸相交于點(diǎn)M，
∵∠FHO=∠MHO，HO⊥FM，
∴FO=MO，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，0）．
∴直線(xiàn)PH的解析式為y=-x+5．
解方程組

y=-x+5 y=- 1 6 x2+ 1 6 x+5

，
得

x1=0 y1=5

，

x2=7 y2=-2

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，-2）．
②若△PFH的內(nèi)心在x軸上，設(shè)直線(xiàn)PF與y軸相交于點(diǎn)N，
∵∠HFO=∠NFO，F(xiàn)O⊥HN，
∴HO=NO，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，-5），
∴直線(xiàn)FN的解析式為y=-x-5．
解方程組

y=-x-5 y=- 1 6 x2+ 1 6 x+5

，
得

x1=-5 y1=0

，

x2=12 y2=-17

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（12，-17）．
綜合①②可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，-2）或（12，-17）．

（4）（附加題）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

3

2

，

1

2

），
直線(xiàn)HQ的解析式為y=-3x+5．

點(diǎn)評(píng)：本題為二次函數(shù)綜合題，綜合考查了矩形的性質(zhì)、圖形的折疊變換、三角形的內(nèi)心等重要知識(shí)．難度較大．