Question

【題目】如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC. 已知AB=2，DE=1，BD=8，設CD=x.

(1)用含x的代數式表示AC+CE的長；

(2)求AC+CE的值最��；

(3)根據(2)中的規(guī)律和結論,請構圖求出代數式的最小值。

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最小，最小值為；(3)13.

【解析】

（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若點C不在AE的連線上，根據三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最��；
（3）由（1）（2）的結果可作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，則AE的長即為代數式的最小值，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用直角三角形的性質可求得AE的值．

解：（1）由線段的和差，得
BC=（8-x）．
由勾股定理，得
AC+CE== ；
（2）當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最小，如圖：作EF⊥AB于F點．，
，
四邊形BDEF是矩形，
BF=DE=1，EF=BD=8，
AF=AB+BF=2+1=3，
AE== =，

∴最小值為；

（3）如下圖所示，作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，設BC=x，則AE的長即為代數式的最小值．
過點A作AF⊥DE交ED的延長線于點F，得矩形ABDF，
則AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE===13，
即的最小值為13．

故答案為：(1) ；(2) 當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最小，最小值為；(3)13.