Question

如圖，等邊△ABC中，AO是∠BAC的角平分線，D為AO上一點，以CD為一邊且在CD下方作等邊△CDE，連接BE．

（1）求證：△ACD≌△BCE；

（2）延長BE至Q，P為BQ上一點，連接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8時，求PQ的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，即可得到∠ACD=∠BCE，從而可以證得結(jié)論；（2）6

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，即可得到∠ACD=∠BCE，從而可以證得結(jié)論；

（2）過點C作CH⊥BQ于H，根據(jù)等邊三角形及角平分線的性質(zhì)可得∠DAC=30°，再根據(jù)△ACD≌△BCE可得∠QBC=∠DAC=30°，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)可得CH的長，最后根據(jù)勾股定理求解即可.

（1）∵△ABC與△DCE是等邊三角形，

∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）過點C作CH⊥BQ于H，

∵△ABC是等邊三角形，AO是角平分線，

∴∠DAC=30°，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠QBC=∠DAC=30°，

∴CH=BC=×8=4，

∵PC=CQ=5，CH=4，

∴PH=QH=3，

∴PQ=6．

考點：等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)

點評：本題知識點多，綜合性較強，但難度不大，是中考常見題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.