Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2x與x軸相交于點B，其對稱軸為x=3．

（1）求直線AB的解析式；

（2）過點O作直線l，使l∥AB，點P是l上一動點，設以點A、B、O、P為頂點的四邊形面積為S，點P的橫坐標為t，當0＜S≤18時，求t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，當t取最大值時，拋物線上是否存在點Q，使△OPQ為直角三角形且OP為直角邊，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+6；（2）﹣3≤t＜0或0＜t≤3；（3）存在．點Q的坐標為（3，3）或（6，0）或（﹣3，﹣9）．

【解析】

（1）利用拋物線的對稱性得到點B坐標為（6，0），再把B點坐標代入y=ax2+2x中求出a得到拋物線解析式；接著把一般式配成頂點式得到A點坐標，然后利用待定系數法求直線AB的解析式；
（2）易得直線解析式為y=-x，則可設P點坐標為（t，-t），討論：當點P在第四象限時（t＞0），利用三角形面積公式可得到S=S△AOB+S△POB=9+3t，再利用S的范圍可得到t的范圍；當點P在第二象限時（t＜0），作PM⊥x軸于M，設對稱軸與x軸交點為N．如圖，利用S=S梯形PANM+S△ANB-S△PMO得到S=[3+（-t）]（3-t）+33-（-t）（-t），然后利用S的范圍確定對應t的范圍；
（3）依題意得到t=3，則P（3，-3），討論：當直角頂點為點O時，OP⊥OQ，易得直線OQ的解析式為y=x，則解方程組

得此時點Q的坐標；當直角頂點為點P時，過點P作直線的垂線交拋物線于點Q，則可設直線PQ的解析式為y=x+b，接著把P（3，-3）代入求出b得到直線PQ的解析式為y=x-6，然后解方程組得此時Q點坐標．

解：（1）∵點B與O（0，0）關于x=3對稱，

∴點B坐標為（6，0），

把B（6，0）代入y=ax2+2x得36a+12=0，解得a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x；

∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣3）2+3，

∴頂點A的坐標為（3，3），

設直線AB解析式為y=kx+b．

把A（3，3），B（6，0）代入得 ，解得 ，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+6；

（2）∵直線∥AB且過點O，

∴直線解析式為y=﹣x，

設P點坐標為（t，﹣t），

當點P在第四象限時（t＞0），

S=S△AOB+S△POB=63+6|﹣t|=9+3t，

∵0＜S≤18，

∴0＜9+3t≤18，解得﹣3＜t≤3．

又t＞0，

∴0＜t≤3；

當點P在第二象限時（t＜0），

作PM⊥x軸于M，設對稱軸與x軸交點為N．如圖，

S=S梯形PANM+S△ANB﹣S△PMO [3+（﹣t）]（3﹣t）+33﹣（﹣t）（﹣t）

=﹣3t+9，

∵0＜S≤18，

∴0＜﹣3+9≤18，解得﹣3≤t＜3．

又t＜0，

∴﹣3≤t＜0；

綜上所述，t的取值范圍是﹣3≤t＜0或0＜t≤3；

（3）存在．

依題意可知，t=3，則P（3，﹣3）

當直角頂點為點O時，OP⊥OQ，

∴直線OQ的解析式為y=x，

解方程組得 或 ，此時點Q的坐標為（3，3）；

當直角頂點為點P時，過點P作直線的垂線交拋物線于點Q，

設直線PQ的解析式為y=x+b，

把P（3，﹣3）代入得b=﹣6，

∴直線PQ的解析式為y=x﹣6，

解方程組得 或 ，此時Q點坐標為（6，0）或（﹣3，﹣9），

綜上所述，點Q的坐標為（3，3）或（6，0）或（﹣3，﹣9）．