Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C（0，3），過點C作x軸的平行線與拋物線交于點D，拋物線的頂點為M，直線y=x+5經過D、M兩點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）連接AM、AC、BC，試比較∠MAB和∠ACB的大小，并說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于CD∥x軸，將C點縱坐標代入直線DM的解析式中，即可得到D點的坐標，進而可得到拋物線的對稱軸方程，再根據直線DM的解析式，即可求得拋物線的頂點坐標，進而可利用待定系數法求得該拋物線的解析式．
（2）根據拋物線的解析式，可求得A、B兩點坐標，即可得到OA=OC=3，故△OAC是等腰直角三角形，若過B作BP⊥AC于P，則△ABP也是等腰直角三角形，即可得到AP、BP的長，進而可求得CP的值，從而在Rt△BCP中求得∠BPC的正切值；同理，可過M作x軸的垂線，根據M點的坐標，即可得到∠MAB的正切值，然后比較這兩個角的正切值即可得到兩個角的大小關系．
解答：解：（1）∵CD∥x軸且點C（0，3），
∴設點D的坐標為（x，3），
∵直線y=x+5經過D點，
∴3=x+5，
∴x=-2，
即點D（-2，3），
根據拋物線的對稱性，設頂點的坐標為M（-1，y），
又∵直線y=x+5經過M點，
∴y=-1+5，y=4、即M（-1，4），
∴設拋物線的解析式為y=a（x+1）²+4，
∵點C（0，3）在拋物線上，
∴a=-1，
即拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．（3分）


（2）作BP⊥AC于點P，MN⊥AB于點N；
由（1）中拋物線y=-x²-2x+3可得：
點A（-3，0），B（1，0），
∴AB=4，AO=CO=3，AC=，
∴∠PAB=45°；
∵∠ABP=45°，
∴PA=PB=，
∴PC=AC-PA=；
在Rt△BPC中，tan∠BCP==2，
在Rt△ANM中，∵M（-1，4），
∴MN=4
、∴AN=2，
tan∠NAM==2，
∴∠BCP=∠NAM，
即∠ACB=∠MAB．（8分）
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定以及解直角三角形的應用，難度適中．