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已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C(0,3),過點C作x軸的平行線與拋物線交于點D,拋物線的頂點為M,直線y=x+5經過D、M兩點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)連接AM、AC、BC,試比較∠MAB和∠ACB的大小,并說明你的理由.
【答案】分析:(1)由于CD∥x軸,將C點縱坐標代入直線DM的解析式中,即可得到D點的坐標,進而可得到拋物線的對稱軸方程,再根據直線DM的解析式,即可求得拋物線的頂點坐標,進而可利用待定系數法求得該拋物線的解析式.
(2)根據拋物線的解析式,可求得A、B兩點坐標,即可得到OA=OC=3,故△OAC是等腰直角三角形,若過B作BP⊥AC于P,則△ABP也是等腰直角三角形,即可得到AP、BP的長,進而可求得CP的值,從而在Rt△BCP中求得∠BPC的正切值;同理,可過M作x軸的垂線,根據M點的坐標,即可得到∠MAB的正切值,然后比較這兩個角的正切值即可得到兩個角的大小關系.
解答:解:(1)∵CD∥x軸且點C(0,3),
∴設點D的坐標為(x,3),
∵直線y=x+5經過D點,
∴3=x+5,
∴x=-2,
即點D(-2,3),
根據拋物線的對稱性,設頂點的坐標為M(-1,y),
又∵直線y=x+5經過M點,
∴y=-1+5,y=4、即M(-1,4),
∴設拋物線的解析式為y=a(x+1)2+4,
∵點C(0,3)在拋物線上,
∴a=-1,
即拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.(3分)


(2)作BP⊥AC于點P,MN⊥AB于點N;
由(1)中拋物線y=-x2-2x+3可得:
點A(-3,0),B(1,0),
∴AB=4,AO=CO=3,AC=,
∴∠PAB=45°;
∵∠ABP=45°,
∴PA=PB=,
∴PC=AC-PA=
在Rt△BPC中,tan∠BCP==2,
在Rt△ANM中,∵M(-1,4),
∴MN=4
、∴AN=2,
tan∠NAM==2,
∴∠BCP=∠NAM,
即∠ACB=∠MAB.(8分)
點評:此題主要考查了二次函數解析式的確定以及解直角三角形的應用,難度適中.
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2
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ca
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