Question

（2013•蓮湖區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M點(diǎn)在線段CA上，從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1米/秒；同時(shí)N點(diǎn)在線段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2米/秒．△AMN的最大面積是

180

13

平方米

．

Answer 1

分析：首先過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AC于點(diǎn)H，由在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米，利用勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，可表示出AM的長(zhǎng)，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可表示出NH的長(zhǎng)，然后由二次函數(shù)的最值，求得答案．

解答：解：過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AC于點(diǎn)H，
∵在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米，
∴AB=

BC2+AC2

=13（米），
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
∴CM=t（米），AM=AC-CM=12-t（米），AN=2t（米），
∵∠A=∠A，∠NHA=∠C=90°，
∴△ANH∽△ABC，
∴

AN

AB

=

NH

BC

，
即

2t

13

=

NH

5

，
∴NH=

10

13

t，
∴S_△AMN=

1

2

AM•NH=

1

2

（12-t）×

10

13

t=-

5

13

（t-6）²+

180

13

．
∴△AMN的最大面積是

180

13

平方米．
故答案為：

180

13

平方米．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題．此題難度適中，屬于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．