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如圖1、2是兩個相似比為的等腰直角三角形,將兩個三角形如圖3放置,小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合。

⑴ 在圖3中,繞點旋轉小直角三角形,使兩直角邊分別與交于點,如圖4。

求證:;

⑵ 若在圖3中,繞點旋轉小直角三角形,使它的斜邊和延長線分別與交于點,如圖5,此時結論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由。

 


圖4

 

⑶ 如圖,在正方形中,分別是邊上的點,滿足的周長等于正方形的周長的一半,分別與對角線交于,試問線段、能否構成三角形的三邊長?若能,指出三角形的形狀,并給出證明;若不能,請說明理由。

 


⑴ 在圖4中,由,將繞點旋轉,得

     、。連接

 

中有

垂直平分  

代換得

 在圖5中,由,將繞點旋轉,得

    連接

中有

又可證,得V

代換得

(3)將繞點瞬時針旋轉,得,且

因為的周長等于正方形周長的一半,所以

  化簡得從而可得,

  推出

此時該問題就轉化為圖5中的問題了。由前面的結論知:

,再由勾股定理的逆定理知:

線段、可構成直角三角形。

 


練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

如圖1、2是兩個相似比為1:
2
的等腰直角三角形,將兩個三角形如圖3放置,小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合.
(1)在圖3中,繞點D旋轉小直角三角形,使兩直角邊分別與AC、BC交于點E,F,如圖4.求證:AE2+BF2=EF2;
(2)若在圖3中,繞點C旋轉小直角三角形,使它的斜邊和CD延長線分別與AB交于點E、F,如圖5,此時結論AE2+BF2=EF2是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.
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(3)如圖6,在正方形ABCD中,E、F分別是邊BC、CD上的點,滿足△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半,AE、AF分別與對角線BD交于M、N,試問線段BM、MN、DN能否構成三角形的三邊長?若能,指出三角形的形狀,并給出證明;若不能,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖所示,是兩個相似四邊形,則x=
 
,y=
 
,α=
 

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

如圖1、2是兩個相似比為1:數學公式的等腰直角三角形,將兩個三角形如圖3放置,小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合.
(1)在圖3中,繞點D旋轉小直角三角形,使兩直角邊分別與AC、BC交于點E,F,如圖4.求證:AE2+BF2=EF2;
(2)若在圖3中,繞點C旋轉小直角三角形,使它的斜邊和CD延長線分別與AB交于點E、F,如圖5,此時結論AE2+BF2=EF2是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.
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(3)如圖6,在正方形ABCD中,E、F分別是邊BC、CD上的點,滿足△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半,AE、AF分別與對角線BD交于M、N,試問線段BM、MN、DN能否構成三角形的三邊長?若能,指出三角形的形狀,并給出證明;若不能,請說明理由.

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科目:初中數學 來源:不詳 題型:填空題

如圖所示,是兩個相似四邊形,則x=______,y=______,α=______.
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科目:初中數學 來源:2011年湖南省長沙市雅禮中學自主招生考試數學試卷(解析版) 題型:解答題

如圖1、2是兩個相似比為1:的等腰直角三角形,將兩個三角形如圖3放置,小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合.
(1)在圖3中,繞點D旋轉小直角三角形,使兩直角邊分別與AC、BC交于點E,F,如圖4.求證:AE2+BF2=EF2;
(2)若在圖3中,繞點C旋轉小直角三角形,使它的斜邊和CD延長線分別與AB交于點E、F,如圖5,此時結論AE2+BF2=EF2是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.


(3)如圖6,在正方形ABCD中,E、F分別是邊BC、CD上的點,滿足△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半,AE、AF分別與對角線BD交于M、N,試問線段BM、MN、DN能否構成三角形的三邊長?若能,指出三角形的形狀,并給出證明;若不能,請說明理由.

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