Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P（a，b），若點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（，）（其中k為常數(shù)，且k≠0），則稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P的“k關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．

（1）點(diǎn)P（﹣3，4）的“2關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P′的坐標(biāo)是_______________;

（2）若a、b為正整數(shù)，點(diǎn)P的“k關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為（3，9），請(qǐng)直接寫(xiě)出k的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，2 ），點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)A是點(diǎn)B的“﹣關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求線段BQ的最小值．

Answer 1

【答案】（1）(-1,-2)； （2）， P(1,6)或P(2,3)；（3）BQ的最小值為

【解析】

（1）根據(jù)題中的新定義求出點(diǎn)P（-3，4）的“2關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P′的坐標(biāo)即可；

（2）根據(jù)題中的新定義求出a與b的關(guān)系式即可；

（3）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），從而表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)（m+，-m+n），由點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上可得到m、n之間的關(guān)系n=4+m．然后將BQ2用m的代數(shù)式表示，根據(jù)二次函數(shù)的最值性，求出BQ最小值．

（1）∵x=-3+=-1，y=2×（-3）+4=-2，

∴P′（-1，-2）；

（2）設(shè)P（a，b），則P′（，ka+b）

∴，

∴k=3，

∴3a+b=9．

∵a、b為正整數(shù)

∴P′（1，6）、（2，3）；

（3）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），

∵點(diǎn)A是點(diǎn)B的“﹣關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m+，-m+n），

∵點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，

∴（m+）（-m+n）=-8，且m+＜0．

整理得：（m+）2=8．

∵m+＜0，

∴m+=-2．

∴n=4+m．

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，4+m）．

過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OQ，垂足為H，如圖所示．

∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，2），

∴QH2=（2-4-m）2=（2+m）2，BH2=m2．

∴BQ2=BH2+QH2

=m2+（2+m）2

=3m2+4m+4

=3（m+）2+

∵3＞0，

∴當(dāng)m=-時(shí)，BQ2最小，即BQ2 =．

∴BQ=．