Question

某商場向顧客發(fā)放9999張購物券，每張購物券上印有一個四位數(shù)的號碼，從0001到9999號，如果號碼的前兩位數(shù)字之和等于后兩位數(shù)字之和，則稱這張購物券為“幸運(yùn)券”．證明：這個商場所發(fā)放的購物券中，所有的幸運(yùn)券的號碼之和能被101整除．

Answer 1

“如果某個號碼n是幸運(yùn)券，那么號m=9999-n也是幸運(yùn)券”，這是解決問題的關(guān)鍵，請你考慮這句話合理性．
若六位數(shù)

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81ab93

是99的倍數(shù)，求整數(shù)a、b的值．
∵

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81ab93

能被9整除，
∴8+1+a+b+9+3=21+a+b能被9整除，得3+a+b=9k_l（k₁為整數(shù)）．①
又∵

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81ab93

能被11整除，
∴8-1+a-b+9-3=13+a-b能被11整除，得2+a-b=11k₂（k₂為整數(shù)）．②
∵0≤a，b≤9，
∴0≤a+b≤18，-9≤a-b≤9，
由①、②兩式，得3≤＜9k₁≤21，-7≤11k₂≤11，
知k₁=1，或k₁=2；k₂=0，或，而3+a+b與2+a-b的奇偶性相異，而k₁=2，k₂=1不符合題意．
故把k₁=1，k₂=0代入①、②兩式，解方程組可求得a=2，b=4．代入所設(shè)6位數(shù)．即得到812493．
所以，這個商場所發(fā)放的購物券中，所有的幸運(yùn)券的號碼之和能被101整除．