已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2。若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)B在第一象限內(nèi)。將Rt△OAB沿OB折疊后,點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處。
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)若拋物線(
≠0)經(jīng)過C、A兩點(diǎn),求此拋物線的解析式;
(3)若拋物線的對稱軸與OB交于點(diǎn)D,點(diǎn)P為線段DB上一點(diǎn),過P作軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)M。問:是否存在這樣的點(diǎn)P,使得四邊形CDPM為等腰梯形?若存在,請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。
注:拋物線(
≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
,對稱軸公式為
(1)過點(diǎn)C作CH⊥軸,垂足為H
∵在Rt△OAB中,∠OAB=900,∠BOA=300,AB=2
∴OB=4,OA=
由折疊知,∠COB=300,OC=OA=
∴∠COH=600,OH=,CH=3
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(,3)
(2)∵拋物線(
≠0)經(jīng)過C(
,3)、A(
,0)兩點(diǎn)
∴ 解得:
∴此拋物線的解析式為:
(3)存在。因為的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(
,3)即為點(diǎn)C
MP⊥軸,設(shè)垂足為N,PN=
,因為∠BOA=300,所以O(shè)N=
∴P(,
)
作PQ⊥CD,垂足為Q,ME⊥CD,垂足為E
把代入
得:
∴ M(,
),E(
,
)
同理:Q(,
),D(
,1)
要使四邊形CDPM為等腰梯形,只需CE=QD
即,解得:
,
(舍)
∴ P點(diǎn)坐標(biāo)為(,
)
∴ 存在滿足條件的點(diǎn)P,使得四邊形CDPM為等腰梯形,此時P點(diǎn)的坐為(,
)
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