已知:在△ABC中,∠CAB=,且,AP平分∠CAB.

1.如圖1,若,∠ABC=32°,且AP交BC于點(diǎn)P,試探究線段

AB,AC與PB之間的數(shù)量關(guān)系,并對(duì)你的結(jié)論加以證明;

    答:線段AB,AC與PB之間的數(shù)量關(guān)系為:___________________________.

2.如圖2,若∠ABC=,點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部,且使∠CBP=30°,

求∠APC的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示)

 

 

1.AB-AC= AB-AD=DB=PB

2.∠APC=120°+∠APC=120°+

解析:解:(1)AB-AC= PB;  

           證明:在AB上截取AD,使AD=AC.(如圖7)

∵AP平分∠CAB,

∴∠1=∠2.

在△ACP和△ADP中,

                AC =AD,

                ∠1 =∠2,

                AP=AP,

∴△ACP≌△ADP.  

∴∠C =∠3.

∵△ABC中,∠CAB==2×21°=42°,∠ABC=32°,

∴∠C =180°-∠CAB-∠ABC=180°-42°-32° = 106°.

∴∠3 =106°.

∴∠4 =180°-∠3=180°-106°=74°,

  ∠5 =∠3-∠ABC=106°-32°=74°.

∴∠4 =∠5.

∴PB=DB.

∴AB-AC= AB-AD=DB=PB. 

(2)方法一:延長(zhǎng)AC至M,使AM=AB,連接PM,BM.(如圖8) 

∵AP平分∠CAB,∠CAB=

∴∠1=∠2==

在△AMP和△ABP中,

           AM =AB,

           ∠1 =∠2,

           AP=AP,

∴△AMP≌△ABP.  

∴PM=PB,∠3 =∠4.  

∵∠ABC=60°-,∠CBP=30°,

∴∠4=(60°-)-30° =30°-

∴∠3 =∠4 =30°-. ∵△AMB中,AM=AB,

∴∠AMB=∠ABM =(180°-∠MAB)÷2=(180°-)÷2 =90°-

∴∠5=∠AMB-∠3= (90°-)-(30°-)=60°.

∴△PMB為等邊三角形.  

∵∠6=∠ABM-∠ABC = (90°-)-(60°-)=30°,

∴∠6=∠CBP.

∴BC平分∠PBM.

∴BC垂直平分PM.

∴CP=CM.

∴∠7 =∠3 = 30°-

∴∠ACP=∠7+∠3=(30°-)+(30°-)=60°-

∴△ACP中,∠APC=180°-∠1-∠ACP

=180°--(60°-)

=120°+.  

方法二:在AB上截取AM,使AM=AC,連接PM,延長(zhǎng)AP交BC于N,連接MN.(如圖9) 

∵AP平分∠CAB,∠CAB=,

∴∠1=∠2==

在△ACN和△AMN中,

           AC =AM,

           ∠1 =∠2,

           AN=AN,

∴△ACN≌△AMN.  

∴∠3 =∠4.  

∵∠ABC=60°-

∴∠3=∠2+∠NBA=+(60°-) =60°.

∴∠3 =∠4 =60°.

∴∠5=180°-∠3-∠4=180°-60°-60°=60°.

∴∠4 =∠5.  -∴NM平分∠PNB.

∵∠CBP=30°,

∴∠6=∠3-∠NBP=60°-30°=30°.

∴∠6=∠NBP.

∴NP=NB.

∴NM垂直平分PB.

∴MP=MB.

∴∠7 =∠8.

∴∠6+∠7 =∠NBP+∠8,

即∠NPM=∠NBM=60°-.  ∴∠APM=180°-∠NPM =180°-(60°-)=120°+

在△ACP和△AMP中,

           AC =AM,

           ∠1 =∠2,

           AP=AP,

∴△ACP≌△AMP.  

∴∠APC=∠APM . 

∴∠APC=120°+

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

25、已知:在△ABC中AB=AC,點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上.
求證:AD2-AB2=BD•CD.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)(1)化簡(jiǎn):(a-
1
a
)÷
a2-2a+1
a
;
(2)已知:在△ABC中,AB=AC.
①設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為7,BC=y,AB=x(2≤x≤3).寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
②如圖,點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn),連接AD,若∠B=∠BAD,求證:△BAC∽△BDA.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

20、如圖,已知,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)M,ME∥AB交BC于點(diǎn)E,MF∥AC交BC于點(diǎn)F.求證:△MEF的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

12、已知,在△ABC中,AB=AC=x,BC=6,則腰長(zhǎng)x的取值范圍是
x>3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:在△ABC中,∠B<∠C,AD平分∠BAC,AE⊥BC,垂足為點(diǎn)E.∠B=38°,∠C=70°.
①求∠DAE的度數(shù);
②試寫出∠DAE與∠B、∠C之間的一般等量關(guān)系式(只寫結(jié)論)

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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