Question

【題目】我們已經(jīng)知道，有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形．其中直角所在的兩條邊叫直角邊，直角所對(duì)的邊叫斜邊（如圖①所示）．?dāng)?shù)學(xué)家已發(fā)現(xiàn)在一個(gè)直角三角形中，兩個(gè)直角邊邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度分別是a和b，斜邊長(zhǎng)度是c，那么可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：a2+b2＝c2．已知，如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE＝3，連接DE．

（1）DE的長(zhǎng)為　 　．

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為何值時(shí)，△ABP和△DCE全等？

（3）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度僅沿著BE向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，連接DP．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，是否存在t，使△PDE為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；否則，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）5 （2）3秒或13秒 （3）t＝3秒或4秒或秒

【解析】

（1）根據(jù)題意可得：CD＝4，根據(jù)勾股定理可求DE的長(zhǎng)；

（2）若△ABP與△DCE全等，可得AP＝CE＝3或BP＝CE＝3，根據(jù)時(shí)間路程的關(guān)系可求r的值；

（3）分PD＝DE，PE＝DE，PD＝PE三種情況討論，可求t的值．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形

∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC

在Rt△DCE中，DE＝＝＝5

故答案為 5．

（2）若△ABP與△DCE全等

∴BP＝CE或AP＝CE

當(dāng)BP＝CE＝3時(shí)，則t＝＝3秒

當(dāng)AP＝CE＝3時(shí)，則t＝＝13秒

∴求當(dāng)t為3秒或13秒時(shí)，△ABP和△DCE全等．

（3）若△PDE為等腰三角形

則PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE

當(dāng)PD＝DE時(shí)，

∵PD＝DE，DC⊥BE

∴PC＝CE＝3

∵BP＝BC﹣CP＝3

∴t＝＝3

當(dāng)PE＝DE＝5時(shí)，

∵BP＝BE﹣PE

∴BP＝9﹣5＝4

∴t＝＝4

當(dāng)PD＝PE時(shí)，

∴PE＝PC+CE＝3+PC

∴PD＝3+PC

在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2．

∴（3+PC）2＝16+PC2

∴PC＝

∵BP＝BC﹣PC

∴BP＝

∴t＝＝

綜上所述：當(dāng)t＝3秒或4秒或秒時(shí)，△PDE為等腰三角形．