【題目】如圖,是半圓
的直徑,
.射線
為半圓
的切線.在
上取一點
,連接
交半圓于點
,連接
.過
點作
的垂線
,垂足為點
,與
相交于點
.過
點作半圓
的切線
,切點為
,與
相交于點
.
(1)求證:∽
;
(2)當與
的面積相等時,求
的長;
(3)求證:當在
上移動時(
點除外),點
始終是線段
的中點.
【答案】(1)證明見解析;(2)BQ=1;(3)證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)OE∥AC,得出∠BAC=∠FOB,進而得出∠BCA=∠FBO=90°,從而證明結論;
(2)根據(jù)△ACB∽△OBF得出△ABD∽△BFO,從而得出DQ∥AB,即可得出BQ=AD;
(3)首先得出AD=DP,QB=BQ,進而得出DQ2=QK2+DK2,得出BF=2BQ,即可得出Q為BF的中點.
解:(1)證明:∵AB為直徑,
∴∠ACB=90°,即:AC⊥BC,
又OE⊥BC,
∴OE∥AC,
∴∠BAC=∠FOB,
∵BN是半圓的切線,
∴∠BCA=∠FBO=90°,
∴△ABC∽△OFB.
(2)連接OP,
由△ACB∽△OBF得,∠OFB=∠DBA,∠BCA=∠FBO=90°,
∵AM、BN是⊙O的切線,
∴∠DAB=∠OBF=90°,
∴△ABD∽△BFO,
∴當△ABD與△BFO的面積相等時,△ABD≌△BFO,
∴AD=OB=1,
∵DP切圓O,DA切圓O,
∴DP=DA,
∵△ABD≌△BFO,
∴DA=BO=PO=DP,
又∵∠DAO=∠DPO=90°,
∴四邊形AOPD是正方形,
∴DQ∥AB,
∴四邊形ABQD是矩形,
∴BQ=AD=1;
(3)證明:由(2)知,△ABD∽△BFO,
∴=
,
∴BF==
=
,
∵DP是半圓O的切線,射線AM、BN為半圓O的切線,
∴AD=DP,QB=QP,
過Q點作AM的垂線QK,垂足為K,在Rt△DQK中,
DQ2=QK2+DK2,
∴(AD+BQ)2=(AD﹣BQ)2+22.
∴BQ=,
∴BF=2BQ,
∴Q為BF的中點.
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【題目】兩地相距
,甲、乙兩人從兩地出發(fā)相向而行,甲先出發(fā).圖中
表示兩人離
地的距離
與時間
的關系,結合圖象,下列結論錯誤的是( )
A.是表示甲離
地的距離與時間關系的圖象
B.乙的速度是
C.兩人相遇時間在
D.當甲到達終點時乙距離終點還有
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【題目】根據(jù)規(guī)定,我市將垃圾分為了四類:可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大類.現(xiàn)有投放這四類垃圾的垃圾桶各1個,若將用不透明垃圾袋分類打包好的兩袋不同垃圾隨機投進兩個不同的垃圾桶,投放正確的概率是______________.
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【題目】如圖,O為Rt△ABC直角邊AC上一點,以OC為半徑作⊙O與斜邊AB相切于點D,交OA于點E,已知,AC=3,則圖中陰影部分的面積是__________.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=4,若將△ABC繞點B順時針旋轉60°,點A的對應點為點A′,點C的對應點為點C′,點D為A′B的中點,連接AD.則點A的運動路徑與線段AD、A′D圍成的陰影部分面積是______.
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【題目】小雨、小華、小星暑假到某超市參加社會實踐活動,在活動中他們參加了某種水果的銷售工作,已知該水果的進價為8元/千克.他們通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):當銷售單價為10元時,那么每天可售出300千克;銷售單價每上漲1元,每天的銷售量就減少50千克.
(1)求該超市銷售這種水果,每天的銷售量y(千克)與銷售單價x(元/千克)之間的函數(shù)關系式;
(2)一段時間后,發(fā)現(xiàn)這種水果每天的銷售量均不低于250千克,則此時該超市銷售這種水果每天獲取的利潤w(元)最大是多少?
(3)為響應政府號召,該超市決定在暑假期間每銷售1千克這種水果就捐贈a元利潤(a≤2.5)給希望工程.公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn),當銷售單價不超過13元時,每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨銷售單價x(元/千克)的增大而增大,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,在ABC中,∠ACB=90°,以點A為圓心,AC的長為半徑作⊙A,交AB于點D,交CA的延長線于點E.過點E作EF∥AB,交⊙A于點F,連接AF,BF,DF.
(1)求證:BF是⊙A的切線;
(2)填空:
①當四邊形ADFE是周長為20的菱形時,BF= ;
②當= 時,四邊形ACBF是正方形.
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【題目】根據(jù)市衛(wèi)生防疫部門的要求,游泳池必須定期換水后才能對外開放.在換水時需要經(jīng)“排水一清冼一灌水”的過程.某游泳館從早上開始對游泳池進行換水,已知該游泳池的排水速度是灌水速度的
倍,其中游泳池內(nèi)剩余的水量
與換水時間上
之間的函數(shù)圖象如圖所示,根據(jù)圖象解答下列問題:
(1)該游泳池清洗需要 小時.
(2)求排水過程中的與
之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量
的取值范圍.
(3)若該游泳館在換水結束分鐘后才能對外開放,判斷游泳愛好者小致能否在中午
進入該游泳館游泳,并說明理由.
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【題目】我們把有一組鄰邊相等,一組對邊平行但不相等的四邊形稱作“準菱形”.
(1)證明“準菱形”性質(zhì):“準菱形”的一條對角線平分一個內(nèi)角.
(要求:根據(jù)圖1寫出已知,求證,證明)
已知:
求證:
證明:
(2)已知.在△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4.若點D,E分別在邊BC,AC上,且四邊形ABDE為“準菱形”.請在下列給出的△ABC中,作出滿足條件的所有“準菱形”ABDE,并寫出相應DE的長.(所給△ABC不一定都用,不夠可添)
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