Question

【題目】已知關于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．
（1）求證：方程恒有兩個不相等的實數根；
（2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，

∴在實數范圍內，m無論取何值，（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，

∴關于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有兩個不相等的實數根

（2）解：根據題意，得

12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，

解得，m=2，

則方程的另一根為：m+2﹣1=2+1=3；

①當該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為： ；

該直角三角形的周長為1+3+ =4+ ；

②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為2 ；則該直角三角形的周長為1+3+2 =4+2

【解析】（1）根據關于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0的根的判別式的符號來證明結論；（2）根據一元二次方程的解的定義求得m值，然后由根與系數的關系求得方程的另一根．分類討論：①當該直角三角形的兩直角邊是2、3時，由勾股定理得斜邊的長度為： ；②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是2、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為 ；再根據三角形的周長公式進行計算．
【考點精析】關于本題考查的求根公式和勾股定理的概念，需要了解根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．