Question

在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 點(diǎn)E在下底邊BC上，點(diǎn)F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)，設(shè)BE長(zhǎng)為x，試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積；

（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1∶2的兩部分？若存在，求出此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）由已知條件得：梯形周長(zhǎng)為12，高4，面積為28。

過點(diǎn)F作FG⊥BC于G  ，過點(diǎn)A作AK⊥BC于K，則可得：FG=×4

∴S△BEF=BE?FG=－x²+x（7≤x≤10）    

（2）存在                                           

由（1）得：－x²+x=14得x₁=7       x₂=5（不合舍去）

∴存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)與面積同時(shí)平分，此時(shí)BE=7

（3）不存在                                        

假設(shè)存在，顯然是：S_△BEF∶S_AFECD=1∶2，(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2

則有－x²+x=，整理得：3x²－24x+70=0，△=576－840<0

∴不存在這樣的實(shí)數(shù)x。

即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積。

同時(shí)分成1∶2的兩部分