Question

在△ABC中，分別以AB，AC為直徑在△ABC外作半圓O₁和半圓O₂，其中O₁和O₂分別為兩個半圓的圓心．F是邊BC的中點，點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點．

（1）如圖一，連接O₁F，O₁D，DF，O₂F，O₂E，EF，證明：△DO₁F≌△FO₂E；
（2）過點A分別作半圓O₁和半圓O₂的切線，交BD的延長線和CE的延長線于點P和點Q，連接PQ，①如圖二，若∠ACB=90°，DB=5，CE=3，求線段PQ的長；②如圖三，若連接FA，猜想PQ與FA的位置關(guān)系，并說明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）證明：如圖一，
∵O₁，O₂，F(xiàn)分別是AB，AC，BC邊的中點，
∴O₁F∥AC且O₁F=AO₂，O₂F∥AB且O₂F=AO₁，
∴∠BO₁F=∠BAC，∠CO₂F=∠BAC，
∴∠BO₁F=∠CO₂F
∵點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點，
∴O₁F=AO₂=O₂E，O₂F=AO₁=O₁D，∠BO₁D=90°，∠CO₂E=90°，
∴∠BO₁D=∠CO₂E．
∴∠DO₁F=∠FO₂E．
∴△DO₁F≌△FO₂E．

（2）解：①如圖二，延長CA至G，使AG=AQ，連接BG、AE．
∵點E是半圓O₂圓弧的中點，
∴AE=CE=3
∵AC為直徑
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠EAC=45°，AC==，
∵AQ是半圓O₂的切線，
∴CA⊥AQ，
∴∠CAQ=90°，
∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°
∴AQ=AC=AG=
同理：∠BAP=90°，AB=AP=
∴CG=，∠GAB=∠QAP
∴△AQP≌△AGB．
∴PQ=BG
∵∠ACB=90°，
∴BC==
∴BG==
∴PQ=．
②PQ⊥AF．
分析：（1）利用三角形中位線定理以及平行線的性質(zhì)推知∠BO₁F=∠CO₂F；然后根據(jù)平行四邊形的對邊相等、圓周角定理知O₁F=AO₂=O₂E，O₂F=AO₁=O₁D，∠BO₁D=90°，∠CO₂E=90°；最后利用圖形上角間的和差關(guān)系求得∠DO₁F=∠FO₂E，由全等三角形的判定定理ASA證得△DO₁F≌△FO₂E；
（2）①延長CA至G，使AG=AQ，連接BG、AE，構(gòu)建全等三角形△AQP≌△AGB；然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可以求得PQ=BG；最后在直角三角形BCG中利用勾股定理知BG=2，
即PQ=2；
②PQ⊥AF．
點評：本題綜合考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．