(2013•臨沂)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,E為BC上一點(diǎn),以CE為直徑作⊙O,AB與⊙O相切于點(diǎn)D,連接CD,若BE=OE=2.
(1)求證:∠A=2∠DCB;
(2)求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π和根號(hào)).
分析:(1)連接OD,求出∠ODB=90°,求出∠B=30°,∠DOB=60°,求出∠DCB度數(shù),關(guān)鍵三角形內(nèi)角和定理求出∠A,即可得出答案;
(2)根據(jù)勾股定理求出BD,分別求出△ODB和扇形DOE的度數(shù),即可得出答案.
解答:(1)證明:連接OD,
∵AB是⊙O切線,
∴∠ODB=90°,
∴BE=OE=OD=2,
∴∠B=30°,∠DOB=60°,
∵OD=OC,
∴∠DCB=∠ODC=
1
2
∠DOB=30°,
∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠A=60°,
∴∠A=2∠DCB;

(2)解:∵∠ODB=90°,OD=2,BO=2+2=4,由勾股定理得:BD=2
3
,
∴陰影部分的面積S=S△ODB-S扇形DOE=
1
2
×2
3
×2-
60π•22
360
=2
3
-
2
3
π.
點(diǎn)評(píng):本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì),勾股定理,扇形的面積,勾股定理,切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合性運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力.
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(2013•臨沂)如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長線于點(diǎn)F,連接CF.
(1)求證:AF=DC;
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(3)點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn),在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使以A,C,M,N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形?若存在,求點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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