Question

如圖，已知動點A在函數(shù)的圖象上，AB⊥x軸于點B，AC⊥y軸于點C，延長CA至點D，使AD=AB，延長BA至點E，使AE=AC．直線DE分別交x軸于點P，Q．當QE：DP=4：9時，圖中陰影部分的面積等于　　．

 

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EF⊥y軸于點F．令A（t，），則AD=AB=DG=，AE=AC=EF=t，則圖中陰影部分的面積=△ACE的面積+△ABD的面積=t²+×，因此只需求出t²的值即可．先在直角△ADE中，由勾股定理，得出DE=，再由△EFQ∽△DAE，求出QE=，△ADE∽△GPD，求出DP=：，然后根據(jù)QE：DP=4：9，即可得出t²=．

解：解法一：過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EF⊥y軸于點F．

令A（t，），則AD=AB=DG=，AE=AC=EF=t．

在直角△ADE中，由勾股定理，得DE==．

∵△EFQ∽△DAE，

∴QE：DE=EF：AD，

∴QE=，

∵△ADE∽△GPD，

∴DE：PD=AE：DG，

∴DP=．

又∵QE：DP=4：9，

∴=：=4：9，

解得t²=．

∴圖中陰影部分的面積=AC²+AB²=t²+×=+3=．

解法二：∵QE：DP=4：9，

設QE=4m，則DP=9m，

設FE=4t，則GP=9t，

∴A（4t，），

由AC="AE" AD=AB，

∴AE=4t，AD=，DG=，GP="9t"

∵△ADE∽△GPD，

∴AE：DG=AD：GP，

4t：=：9t，即t²=，

圖中陰影部分的面積=4t×4t+××=．

故答案為：．

考點：反比例函數(shù)綜合題．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識，綜合性較強，有一定難度．根據(jù)QE：DP=4：9，得出t²的值是解題的關鍵．