Question

如圖在正方形ABCD中，E是BC的中點，BF=

1

4

AB
（1）求證：△BEF∽△CDE；
（2）連DF，作EH⊥DF，求證：EH²=FH•DH．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質(zhì)易證得∠B=∠C=90°，AB=CD，所以

BF

CE

=

BE

CD

=

1

2

，則根據(jù)相似三角形的判定定理可以證得結(jié)論；
（2）由（1）中的相似三角形的對應(yīng)角相等易證得EF⊥DE．則根據(jù)射影定理易證得結(jié)論．

解答：（1）證明：如圖，∵在正方形ABCD中，E是BC的中點，BF=

1

4

AB，
∴∠B=∠C=90°，

BF

CE

=

BE

CD

=

1

2

，
∴△BEF∽△CDE；

（2）證明：由（1）知，△BEF∽△CDE，則∠BEF=∠CDE．
∵∠BEF+∠BFE=∠CED+∠CDE=90°，
∴∠BEF+∠CED=90°，
∴∠FED=90°．
又∵EH⊥DF，
∴EH²=FH•DH．

點評：此題考查了相似三角形的判定．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計算對應(yīng)角的度數(shù)、對應(yīng)邊的比．本題中把若干線段的長度用同一線段來表示是求線段是否成比例是常用的方法．