Question

如圖所示，拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為A（0，1），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P在拋物線上，它的橫坐標(biāo)為2n（0＜n＜l），作PC⊥x 軸于C，PC交射線AB于點(diǎn)D。
（1）求拋物線的解析式；
（2）用含n的代數(shù)式表示CD、PD的長(zhǎng)，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明與的大小關(guān)系；
（3）若將原題中“0<n<1”的條件改為“n>1”，其他條件不變，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明（2）中的結(jié)論是否仍然成立。 

Answer 1

解：（1）如圖①， ∵拋物線y=ax2 +bx+c的頂點(diǎn)為A（0，1），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0）， ∴y=ax2+1，且4a+1=0， 解得a=-， ∴拋物線的解析式為y=x2+1；
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b  ∵A（0，1） B（2，0）   ∴直線AB的解析式為y=-+1 ∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2n，1-n2），且點(diǎn)P在第一象限， 又∵PC⊥x軸于C，PC交射線AB于點(diǎn)D ∴xD=OC=2n，yD=-×2n+1=1-n，且點(diǎn)D在第一象限 ∴CD=1-n， PD=yP-yD=（1-n2）-（1-n）=n2-n=n（1-n） ∵0＜n＜1 ∴ ∵ ∴；
（3）當(dāng)n＞1時(shí)，P、D兩點(diǎn)在第四象限，且P點(diǎn)在D點(diǎn)的下方（如圖）， yD＞yp， 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2n，1-n2） ∵xD=OC=2n ∴yD=-×2n+1=1-n ∵D點(diǎn)在第四象限 ∴CD=yD=1-n，PD=yP-yD=n（n-1）  ∵n＞1 ∴ ∵ ∴仍然成立。