Question

如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在射線BC上，PE=PB．
（1）求證：①PE=PD； ②PE⊥PD；
（2）設(shè)AP=x，△PBE的面積為y．求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：①∵四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵PC=PC，
∴△PBC≌△PDC（SAS）．
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC．
又∵PB=PE，
∴PE=PD．
②（i）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上（E與B、C不重合）時(shí)，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
而∠PEB+∠PEC=180°，
∴∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°-（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，
∴PE⊥PD．
（ii）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，此時(shí)，PE⊥PD．
（iii）當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2．
∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴PE⊥PD．
綜合（i）（ii）（iii），PE⊥PD；

（2）如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC，垂足為F，
∵PB=PE，
∴BF=FE．
∵AP=x，AC=，∠ACB=45°，PF⊥BC，
∴PC=-x，PF=FC=．
BF=FE=1-FC=1-（）=．
∴S_△PBE=EB•FP=BF•PF=（）=．
即（0＜x＜）．
分析：（1）利用三角形全等得出，∠PBC=∠PDC，由PB=PE，∴PE=PD．要證PE⊥PD；從三方面分析，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上（E與B、C不重合）時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)．
（2）作出三角形的高，用未知數(shù)表示出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)，以及函數(shù)關(guān)系式的得出方法．