Question

【題目】在中，，，點是的中點，點是射線上一點，于點，且，連接，作于點，交直線于點．

（1）如圖（1），當(dāng)點在線段上時，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（2）如圖（2），當(dāng)點在線段的延長線上時，問題（1）中的結(jié)論是否依然成立？如果成立，請求出當(dāng)和面積相等時，點與點之間的距離；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），證明見解析；（2）依然成立，點與點之間的距離為．理由見解析.

【解析】

（1）做輔助線，通過已知條件證得與是等腰直角三角形．證出，利用全等的性質(zhì)即可得到.

（2）設(shè)AH，DF交于點G，可根據(jù)ASA證明△FCE≌△HFG，從而得到，當(dāng)和均為等腰直角三角形當(dāng)他們面積相等時，．利用勾股定理可以求DE、CE的長，即可求出CE的長，即可求得點與點之間的距離．

（1）

證明：延長交于點

∵在中，，，

∴

∵于點，且，

∴，與是等腰直角三角形．

∴，，，

∴，

∵點是的中點，∴，∴

∴

∵于點，∴，∴

∴

∴

∴；

（2）依然成立

理由：設(shè)AH，DF交于點G，

由題意可得出：DF=DE，

∴∠DFE=∠DEF=45°，

∵AC=BC，

∴∠A=∠CBA=45°，

∵DF∥BC，

∴∠CBA=∠FGB=45°，

∴∠FGH=∠CEF=45°，

∵點D為AC的中點,DF∥BC，

∴DG=BC,DC=AC，

∴DG=DC，

∴EC=GF，

∵∠DFC=∠FCB，

∴∠GFH=∠FCE，

在△FCE和△HFG中

，

∴△FCE≌△HFG(ASA)，

∴HF=FC.

由（1）可知和均為等腰直角三角形

當(dāng)他們面積相等時，．

∴

∴

∴點與點之間的距離為．