如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=45°,且AC=BC,AD是BC邊上的中線,過C作AD的垂線交AB于點C,交AD于點F,連接DE.
求證:∠ADC=∠BDE.
證明:過點B作BH⊥BC交CE的延長線于點H. ∵∠CAD+∠ACF=90° ∠BCH+∠ACF=90° ∴∠CAD=∠BCH. 在△ACD和△CBH中, ∴△ACD≌△CBG(ASA). ∴∠ACD=∠H,CD=BH. ∵CD=BD,∴BD=BH, 又∵∠ABC+∠EBH=90°,∠ABC=45°, ∴∠EBH=45°∴∠ABC=∠EBH. 在△BED和△BEH中, ∴△BED≌△BEH(SAS) ∴∠BDE=∠H,又∴∠ADC=∠H. ∴∠ADC=∠BDE
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欲證∠ADC=∠BDE,可考慮證明三角形全等,但它們所在的三角形不全等,∠ADC在Rt△ACD中,它的較長直角邊為AC,故想到構(gòu)造一個直角三角形,使它的較長直角邊等于AC,想到過點B作BH⊥BC,交CE延長線于點H. |
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