如圖(1),在△ABC中,AB=AC,∠A=36°.
(1)直接寫出∠ABC的度數(shù);
(2)如圖(2),BD是△ABC中∠ABC的平分線.
①找出圖中所有等腰三角形(等腰三角形ABC除外),并選其中一個寫出推理過程;
②在直線BC上是否存在點P,使△CDP是以CD為一腰的等腰三角形?如果存在,請在圖(3)中畫出滿足條件的所有的點P,并直接寫出相應(yīng)的∠CPD的度數(shù);如果不存在,請說明理由.

解:(1)∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC===72°;

(2)①如圖(2),△ADB、△BCD是等腰三角形.
說明△ADB是等腰三角形,理由:
由(1)得:∠ABC=72°,
又∵BD是∠ABC的平分線,
∴∠ABD=∠ABC=36°,
又∵∠A=36°,
∴∠A=∠ABD,
∴AD=BD,即△ADB是等腰三角形.
[若說明△BCD是等腰三角形,理由:
∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠C=∠ABC=(180°-36°)=72°
又∵BD是∠ABC的平分線,
∴∠DBC=∠ABC=36°,
∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°,
∴∠C=∠BDC,
∴BD=BC,即△BCD是等腰三角形.
②存在3個點P,使得△CDP是等腰三角形.

等腰△CDP,當(dāng)以∠CDP為頂角,CD為一腰時,∠CPD=72°;
當(dāng)以∠DCP為頂角,CD為一腰時,存在兩點P:
一點在線段BC延長線上,此時∠CPD=36°;
一點在線段BC上,此時∠CPD=54°.
分析:(1)由已知條件結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和進(jìn)行求解;
(2)①等腰三角形的判定,BD是△ABC中∠ABC的平分線.可求出各個角的大小再進(jìn)行判斷;
②使△CDP為等腰三角形,則可能是CD=CP,DP=CD,因為∠C=∠BDC,所以不可能PC=PD.
點評:本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理;由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖a,矩形ABCD的兩條邊在坐標(biāo)軸上,點D與原點重合,對角線BD所在直線函數(shù)式為y=
34
x
,AD=8,矩形ABCD沿DB方向以每秒一個單位長度運(yùn)動,同時點P從點A出發(fā)做勻速運(yùn)動,沿矩形ABCD的邊經(jīng)B到達(dá)終點C,用了14秒.
(1)求矩形ABCD周長;
(2)如圖b,當(dāng)P到達(dá)B時,求點P坐標(biāo);
(3)當(dāng)點P在運(yùn)動時,過點P作x軸、y軸的垂線,垂足分別為E、F,
①如圖c,當(dāng)P在BC上運(yùn)動時,矩形PEOF的邊能否與矩形ABCD的邊對應(yīng)成比例?若能,求出時間t的值,若不能,說明理由;
②如圖d,當(dāng)P在AB上運(yùn)動時,矩形PEOF的面積能否等于256?若能,求出時間t的值,若不能,說明理由;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

28、如圖,C、E分別在AB、DF上,小華想知道∠ACE和∠DEC是否互補(bǔ),但是他有沒有帶量角器,只帶了一副三角尺,于是他想了這樣一個辦法:首先連接CF,再找出CF的中點O,然后連接EO并延長EO和直線AB相交于點B,經(jīng)過測量,他發(fā)現(xiàn)EO=BO,因此他得出結(jié)論:∠ACE和∠DEC互補(bǔ),而且他還發(fā)現(xiàn)BC=EF.以下是他的想法,請你填上根據(jù).
小華是這樣想的:因為CF和BE相交于點O,
根據(jù)
對頂角相等
得出∠COB=∠EOF;
而O是CF的中點,那么CO=FO,又已知EO=BO,
根據(jù)
兩邊對應(yīng)相等且夾角相等的兩三角形全等
得出△COB≌△FOE,
根據(jù)
全等三角形對應(yīng)邊相等
得出BC=EF,
根據(jù)
全等三角形對應(yīng)角相等
得出∠BCO=∠F,
既然∠BCO=∠F根據(jù)
內(nèi)錯角相等,兩直線平行
、得出AB∥DF,
既然AB∥DF,根據(jù)
兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)
.得出∠ACE和∠DEC互補(bǔ).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,如圖1,直角梯形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=nAD,AE⊥BD于點E,過E作CE的垂線交直線AB于點F.
(1)當(dāng)n=4時,則
AE
BE
=
 
ED
BE
=
 
;
(2)當(dāng)n=2時,求證:BF=AF;
(3)如圖2,F(xiàn)點在AB的延長線上,當(dāng)n=
 
時,B為AF的中點;如圖3,將圖形1中的線段AD沿AB翻折,其它條件不變,此時F點在AB的反向延長線上,當(dāng)n=
 
時,A為BF的中點.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

Rt△ABC中,AC=BC,P為直線AB上一點,以CP為邊作正方形CPED,連CE.
(1)如圖1,當(dāng)P為AB的中點,A、E重合時,BP2、AP2、CE2之間的關(guān)系是
BP2+AP2=CE2
BP2+AP2=CE2

(2)如圖2,當(dāng)P在AB上運(yùn)動時,探究BP,AP,CE之間的關(guān)系.
(3)如圖3,當(dāng)P在AB的延長線上時,作出圖形,并指出②中結(jié)論是否成立?(不要求證明)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

同學(xué)們都知道,平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種.
已知AB∥CD.如圖1,點P在AB、CD外部時,由AB∥CD,有∠B=∠BOD,又因為∠BOD是△POD的外角,故∠BOD=∠BPD+∠D,得∠BPD=∠B-∠D.
(1)已知AB∥CD.如圖2,點P在AB、CD內(nèi)部時,上述結(jié)論是否成立?若不成立,則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系?請你說明你的結(jié)論;
(2)在圖2中,將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點Q,如圖3,則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系?說明理由;
(3)利用第(2)小題的結(jié)論求圖4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù).

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