Question

選做題：從甲、乙兩題中選做一題，如果兩題都做，只以甲題計分．
題甲：已知關于x的方程x²+2（a-1）x+a²-7a-4=0的兩根為x₁、x₂，且滿足x₁x₂-3x₁-3x₂-2=0．求的值．
題乙：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，AD=2，BC=BD=3，AC=4．
（1）求證：AC⊥BD；
（2）求△AOB的面積．
我選做的是________題．

Answer 1

解：題甲：關于x的方程x²+2（a-1）x+a²-7a-4=0的兩根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-2（a-1）=2-2a，x₁x₂=a²-7a-4，
∴x₁x₂-3x₁-3x₂-2=x₁x₂-3（x₁+x₂）-2=a²-7a-4-3（2-2a）-2=a²-a-12=0，
解得：a=-3或a=4，
當a=-3時，原方程化為x²-8x+26=0，
∵△=-40＜0，此時原方程無解，
∴a=-3不合題意，應舍去．
當a=4時，原方程化為x²+6x-16=0，
∵△=100＞0，此時原方程有兩個實數(shù)根，
∴a=4符合題意
又∵=•=，
當a=4時，原式==2．
故的值為2．

題乙：（1）過點D作DE∥AC，交BC的延長線于E，
∵AD∥BC，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴DE=AC，DE∥BD，CE=AD，
∵AD=2，BC=BD=3，AC=4，
∴BE=BC+CE=5，DE=AC=4，BD=3，
∴BD²+DE²=BE²，
∴∠BDE=90°，
∴BD⊥DE，
∴BD⊥AC；

（2）過點D作DF⊥BC于F，
∵S_△DBE=BE•DF=BD•DE，
∴DF===，
∴S_△ABC=BC•DF=×3×=，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴=，
∴OA：AC=2：5，
∴S_△AOB：S_△ABC=2：5，
∴S_△AOB=S_△ABC=×=．
分析：甲：首先利用根與系數(shù)的關系求得x₁+x₂，x₁x₂的值，然后代入x₁x₂-3x₁-3x₂-2=0，即可求得a的值，然后化簡，代入a的值即可求得答案；
乙：（1）過點D作DE∥AC，交BC的延長線于E，即可證得四邊形ACED是平行四邊形，則可求得BD，BE，DE的長，由勾股定理的逆定理即可證得BD⊥DE，則可證得BD⊥AC；
（2）首先作DF⊥BC，由S_△DBC=BE•DF=BD•DE，即可求得DF的值，求得△ABC的面積，又由△AOD∽△COB，求得OA與OC的比值，根據同高的三角形的面積比等于對應底的比即可求得答案．
點評：此題考查了根與系數(shù)的關系，分式的化簡以及梯形的性質，平行四邊形的性質與相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，解題時要注意仔細分析．