Question

如圖，已知直線y=kx+2經(jīng)過點P（1，），與x軸相交于點A；拋物線y=ax²+bx（a＞0）經(jīng)過點A和點P，頂點為M．
（1）求直線y=kx+2的表達(dá)式；
（2）求拋物線y=ax²+bx的表達(dá)式；
（3）設(shè)此直線與y軸相交于點B，直線BM與x軸相交于點C，點D的坐標(biāo)為（，0），試判斷△ACB與△ABD是否相似，并說明理由．

Answer 1

解：（1）將點P（1，）代入直線y=kx+2中，得：
k+2=，k=；
∴直線AB的解析式：y=x+2．

（2）由直線AB的解析式知：A（-4，0）、B（0，2）．
將點A（-4，0）、P（1，）代入y=ax²+bx（a＞0）中，得：
，解得
∴拋物線的解析式：y=x²+2x．

（3）由（2）的拋物線知：點M（-2，-2）；
由于直線BM經(jīng)過點B（0，2），設(shè)該直線的解析式：y=mx+2，有：
-2m+2=-2，m=2
即直線BM：y=2x+2，得點C（-1，0）．
由A（-4，0）、B（0，2）得：AB²=OA²+OB²=20；
由C（-1，0）、D（，0），得：AC•AD=（4-1）×（4+）=20；
∴AB²=AC•AD
又∠BAC=∠DAB，
∴△ACB∽△ABD．
分析：（1）已知點P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法能確定直線AB的解析式．
（2）首先根據(jù)直線AB的解析式求出點A的坐標(biāo)，點P的坐標(biāo)已知，利用待定系數(shù)法求解即可．
（3）△ACB和△ABD中，已知的條件是一個公共角，若兩者相似，那么夾公共角的兩組對應(yīng)邊成比例，即只需判斷是否滿足AB²=AC•AD的條件即可．
點評：該題主要考查的是利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式以及相似三角形的判定．題目的難度不大，重點在于考查基礎(chǔ)知識的掌握程度．