Question

如圖，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的長．

小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對稱知識，將圖形進(jìn)行翻折變換，巧妙地解答了此題．請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：

(1)分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點(diǎn)的對稱點(diǎn)為E、F，延長EB、FC相交于G點(diǎn)，求證：四邊形AEGF是正方形；

(2)設(shè)AD＝x，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵AD⊥BC于D 　　∴∠ADB＝∠ADC＝90° 　　∵△AEB與△ADB關(guān)于AB對稱 　　∴AE＝AD，∠E＝∠ADB＝90°，∠EAB＝∠DAB 　　∵△AFC與△ADC關(guān)于AC對稱 　　∴AF＝AD，∠F＝∠ADC＝90°，∠FAC＝∠DAC　2分 　　∴∠EAB＋∠FAC＝∠DAB＋∠DAC＝∠BAC＝45°，AE＝AF 　　∴∠EAF＝90° 　　∴∠EAF＝∠E＝∠F＝90° 　　∴四邊形AEGF是矩形　4分 　　又∵AE＝AF 　　∴四邊形AEGF是正方形　5分 　　(2)解：∵四邊形AEGF是正方形 　　∴EG＝FG＝AE＝AD＝x，∠G＝90° 　　由軸對稱性質(zhì)得：EB＝BD＝2，，CF＝CD＝3 　　∴BG＝x－2，CG＝x－3，BC＝5　6分 　　Rt△BGC中，BG2＋CG2＝BC2 　　∴(x－2)2＋(x－3)2＝52　8分 　　x2－5x－6＝0 　　x1＝6，x2＝－1(不合題意，舍去) 　　∴x＝6　10分