Question

ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，取△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的內(nèi)心O₁，O₂，O₃，O₄．求證：O₁O₂O₃O₄為矩形．

Answer 1

分析：先由O₁，O₂，O₃，O₄分別為△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的內(nèi)心得出各角之間的關(guān)系，確定出A、B、O₂、O₁四點(diǎn)共圓，由四點(diǎn)共圓的性質(zhì)即可得出四邊形O₁O₂O₃O₄各角均為90°，從而問題得證．

解答：證明：∵O₁，O₂，O₃，O₄分別為△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的內(nèi)心，
∴∠AO₁B=90°+∠ADB，∠AO₂B=90°+∠ACB，
∴∠ADB=∠ACB，∠AO₁B=∠AO₂B，
∴A、B、O₂、O₁四點(diǎn)共圓，則∠AO₁O₂=180°-∠ABO₂=180°-∠ABC，
同理有：∠AO₁O₄=180°-∠ADC，
∴∠AO₁O₂+∠AO₁O₄=360°-（∠ABC+∠ADC）=270°，
∴∠O₂O₁O₄=90°，
同理：∠O₁O₂O₃=90°，∠O₂O₃O₄=90°．
∴四邊形O₁O₂O₃O₄是矩形．

點(diǎn)評：本題考查的是三角形內(nèi)心的性質(zhì)及四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)、矩形的判定定理，涉及面較廣，難度較大．