Question

（2012•荊州模擬）已知：關(guān)于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k為整數(shù)）的根為整數(shù)，雙曲線y=

k+1

x

（x＞0）過梯形OABC的頂點(diǎn)A和腰BC中點(diǎn)M，∠BCO=90°．求四邊形OABC的面積．

Answer 1

分析：分類討論：當(dāng)k=0，方程變形為：x-1=0，解得x=1；當(dāng)k≠0，先運(yùn)用因式分解法解一元二次方程得到x₁=

k-1

k

，x₂=1，由于關(guān)于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k為整數(shù)）的根為整數(shù)，則由x₁=

k-1

k

=1-

1

k

得到k=1，得到雙曲線的解析式為y=

2

x

，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），易得C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（a，2b），則A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2b，當(dāng)點(diǎn)A在雙曲線y=

2

x

上，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

b

，2b），然后根據(jù)梯形面積公式進(jìn)行計(jì)算，四邊形OABC的面積=

1

2

（AB+OC）•BC=

1

2

（a-

1

b

+a）×2b=2ab-1，ab=2，可計(jì)算出面積；當(dāng)點(diǎn)A在雙曲線y=

1

x

上，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2b

，2b），四邊形OABC的面積=

1

2

（AB+OC）•BC
=2ab-

1

2

，然后把a(bǔ)b=1代入計(jì)算．

解答：解：當(dāng)k=0，方程變形為：x-1=0，解得x=1；
當(dāng)k≠0，
∵[kx-（k-1）]（x-1）=0，
∴x₁=

k-1

k

，x₂=1，
∵關(guān)于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k為整數(shù)）的根為整數(shù)，
而x₁=

k-1

k

=1-

1

k

，
∴k=1，
∴雙曲線的解析式為y=

1

x

或y=

2

x

，
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），
∵四邊形OACB為梯形，∠BCO=90°，且M為BC的中點(diǎn)，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（a，2b），
∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2b，
當(dāng)點(diǎn)A在雙曲線y=

2

x

上，
∴當(dāng)y=2b時(shí)，x=

1

b

，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

b

，2b），
∴四邊形OACB的面積=

1

2

（AB+OC）•BC
=

1

2

（a-

1

b

+a）×2b
=2ab-1
當(dāng)k=1，ab=2，四邊形OACB的面積=4-1=3；
當(dāng)點(diǎn)A在雙曲線y=

1

x

上，
A點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2b

，2b），
∴四邊形OACB的面積=

1

2

（AB+OC）•BC
=

1

2

（a-

1

2b

+a）×2b
=2ab-

1

2

當(dāng)k=0，ab=1，四邊形OACB的面積=2-

1

2

=

3

2

；
∴四邊形OABC的面積為3或

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足圖象的解析式；平行于x軸的直線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同；平行于y軸的直線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；運(yùn)用梯形的面積確定線段平行關(guān)系和計(jì)算面積；運(yùn)用因式分解法解一元二次方程；分類討論的思想方法在解題常用到．