Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點（1，0），（5，0），（3，﹣4）．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)y＞﹣3，寫出x的取值范圍； 

（3）A、B為直線y=﹣2x﹣6上兩動點，且距離為2，點C為二次函數(shù)圖象上的動點，當(dāng)點C運動到何處時△ABC的面積最��？求出此時點C的坐標及△ABC面積的最小值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵點（1，0），（5，0），（3，﹣4）在拋物線上，

∴，解得。

∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²﹣6x+5。

（2）在y=x²﹣6x+5中，令y=﹣3，即x²﹣6x+5=﹣3，

整理得：x²﹣6x+8=0，解得x₁=2，x₂=4。

結(jié)合函數(shù)圖象，可知當(dāng)y＞﹣3時，x的取值范圍是：x＜2或x＞4。

（3）設(shè)直線y=﹣2x﹣6與x軸，y軸分別交于點M，點N，

令x=0，得y=﹣6；令y=0，得x=﹣2，

∴M（﹣3，0），N（0，﹣6）。

∴OM=3，ON=6，由勾股定理得：MN=，

∴。

設(shè)點C坐標為（x，y），則y=x²﹣6x+5。。

過點C作CD⊥y軸于點D，

則CD=x，OD=﹣y，DN=6+y。

過點C作直線y=﹣2x﹣6的垂線，垂足為E，交y軸于點F，

在Rt△CDF中，DF=CD•tan∠MNO=x，。

∴FN=DN﹣DF=6+y﹣x。

在Rt△EFN中，EF=FN•sin∠MNO=（6+y﹣x），

∴CE=CF+EF=x+（6+y﹣x）。

∵C（x，y）在拋物線上，

∴y=x²﹣6x+5，代入上式整理得：CE=（x²﹣4x+11）=（x﹣2）²+。

∴當(dāng)x=2時，CE有最小值，最小值為。

當(dāng)x=2時，y=x²﹣6x+5=﹣3，∴C（2，﹣3）。

∴△ABC的最小面積為： AB•CE=×2×=。

∴當(dāng)C點坐標為（2，﹣3）時，△ABC的面積最小，面積的最小值為。

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。

（2）求出y=3時x的值，結(jié)合函數(shù)圖象，求出y＞﹣3時x的取值范圍。

（3）△ABC的底邊AB長度為2，是定值，因此當(dāng)AB邊上的高最小時，△ABC的面積最�。�如解答圖所示，由點C向直線y=﹣2x﹣6作垂線，利用三角函數(shù)（或相似三角形）求出高CE的表達式，根據(jù)表達式求出CE的最小值，這樣問題得解。