Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）求作：∠BAC的角平分線AD，與BC邊交于點(diǎn)D（不寫(xiě)作法，保留尺規(guī)作圖痕跡）；
（2）若（1）中的AB=6，∠B=30°，求線段BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別與AB、AC相交，再以兩交點(diǎn)為圓心，以大于它們長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A與這一點(diǎn)作射線交BC于點(diǎn)D，則AD即為所求；
（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BAC=60°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD=∠CAD=30°，從而得到∠B=∠BAD，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得AD=BD，根據(jù)直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出AC=AB，CD=AD，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理列式求解即可．
解答：解：（1）如圖所示，AD即為∠BAC的角平分線；

（2）∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠CAD=×60°=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD，
∵AB=6，∠B=30°，∠CAD=30°
∴AC=AB=×6=3，CD=AD，
在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理，AC²+CD²=AD²，
即3²+AD²=AD²，
解得AD=2，
所以線段BD的長(zhǎng)為2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，根據(jù)角度的度數(shù)得到∠B=∠BAD再根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)得到AD=BD是解題的關(guān)鍵．