Question

【題目】如圖，拋物線：與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，.若拋物線與拋物線關(guān)于直線對稱.

（1）求拋物線與拋物線的解析式：

（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以為邊，且以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）：，：；（2）滿足條件的、兩點(diǎn)的坐標(biāo)為：，；；

【解析】

（1）用待定系數(shù)法求拋物線的解析式并配方成頂點(diǎn)式，得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)D；由拋物線與拋物線關(guān)于直線x＝2對稱可得兩拋物線開口方向、大小相同，且兩頂點(diǎn)關(guān)于直線x＝2對稱，因此求得拋物線的頂點(diǎn)，進(jìn)而得到拋物線的頂點(diǎn)式．
（2）由于BC為邊，以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，所以有兩種情況：①BQ∥PC，BQ＝PC；②BP∥CQ，BP＝CQ．因?yàn)榭砂腰c(diǎn)B、C之間看作是向左（或右）平移3個(gè)單位，再向上（或下）平移3個(gè)單位得到，所以點(diǎn)P、Q之間也有相應(yīng)的平移關(guān)系，故可由點(diǎn)P坐標(biāo)（t，）的t表示點(diǎn)Q坐標(biāo)，再把點(diǎn)Q坐標(biāo)代入拋物線，解方程即求得t的值，進(jìn)而求得點(diǎn)P、Q坐標(biāo)．

解：（1）∵A（1，0）
∴OB＝OC＝3OA＝3
∴B（3，0），C（0，3）
∵拋物線：經(jīng)過點(diǎn)A、B、C
∴
解得：
∴拋物線的解析式為

∴拋物線的頂點(diǎn)D（1，4）
∵拋物線與拋物線關(guān)于直線x＝2對稱
∴兩拋物線開口方向、大小相同，拋物線的頂點(diǎn)與點(diǎn)D關(guān)于直線x＝2對稱
∴（3，4）
∴拋物線的解析式為；
（2）存在滿足條件的P、Q，使得以BC為邊且以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．
設(shè)拋物線上的P（t，）
①若四邊形BCPQ為平行四邊形，如圖，

∴BQ∥PC，BQ＝PC
∴BQ可看作是CP向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到的
∴Q（t＋3，）
∵點(diǎn)Q在拋物線上
∴＝
解得：t＝2
∴P（2，3），Q（5，0）
②若四邊形BCQP為平行四邊形，如圖，

∴BP∥CQ，BP＝CQ
∴CQ可看作是BP向左平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到的
∴Q（t3，）
∴
解得：t＝
∴，，

綜上所述，存在，；；，使得以BC為邊且以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．