Question

已知x₁，x₂（x₁＞x₂）是關(guān)于x的方程x²-（2k+1）x+k²+k=0的兩根
（1）求證：不論k取何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若3x₁+x₂²=7，求k的值．

Answer 1

分析：（1）要證明不論k取何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，就是要證明△＞0，而△=（2k+1）²-4（k²+k）=1，即可證明；
（2）由△=1，易求得方程的解為x=

2k+1±1

2

，由于x₁＞x₂，所以x₁=k+1，x₂=k，然后把x₁=k+1，x₂=k代入3x₁+x₂²=7，得k²+3k-4=0，最后求k的一元二次方程的解即可．

解答：解：（1）∵△=（2k+1）²-4（k²+k）=1，即△＞0，
∴不論k取何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）利用求根公式解方程，x=

2k+1±1

2

，由于x₁＞x₂，所以x₁=k+1，x₂=k，
∵3x₁+x₂²=7，
∴3（k+1）+k²=7，即k²+3k-4=0，（k+4）（k-1）=0，k₁=-4，k₂=1；
所以k的值為-4或1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．