如圖，四邊形中ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，P為對(duì)角線AC延長線上的任意一點(diǎn)，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．
求證：K是線段MN的中點(diǎn)．

證明：∵EF截△PMN，
則
∵BC截△PAE，
則，
∴即有，
所以，
∵AD截△PCF，
則，
即，∴
因AP=AC+CP，得2CP+AC=2AP-AC，由（3），（4）得，
，
即，
所以由（1）得NK=KM，即K是線段MN的中點(diǎn)．
分析：根據(jù)題意，EF截△PMN，則；BC截△PAE，則；所以．而AD截△PCF，則，即，∴，因AP=AC+CP，得2CP+AC=2AP-AC，由（3），（4）得，，即，所以由（1）得NK=KM，即K是線段AM的中點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段截三角形所得的線段的比為定值．以及比例的性質(zhì)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點(diǎn)B作射線BB1∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BB1于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．精英家教網(wǎng)
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長度；
（2）當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí)，求t的值；
（3）以DH所在直線為對(duì)稱軸，線段AC經(jīng)軸對(duì)稱變換后的圖形為A′C′．
①當(dāng)t＞
35
時(shí)，連接C′C，設(shè)四邊形ACC′A′的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)線段A′C′與射線BB′，有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍（寫出答案即可）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD．
（1）求證：∠1+∠2=90°；
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（2）若∠ABD的平分線與CD的延長線交于F，且∠F=55°，求∠ABC；
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（3）若H是BC上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是BA延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)H交BD于M，F(xiàn)G平分∠BFH，交DE于N，交BC于G．當(dāng)H在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與B點(diǎn)重合），
∠BAD+∠DMH∠DNG
的值是否變化？如果變化，說明理由；如果不變，試求出其值．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•海珠區(qū)一模）如圖1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，連接AE、AC、BE，且AC和BE相交于點(diǎn)O．
（1）求證：四邊形ABCE是菱形；
（2）如圖2，P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），連接PO并延長交線段AE于點(diǎn)Q，過Q作QR⊥BD交BD于R．
①四邊形PQED的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出其值；若不是，請(qǐng)說明理由；
②以點(diǎn)P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)B、C、O為頂點(diǎn)的三角形是否可能相似？若可能，請(qǐng)求出線段BP的長；若不可能，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，AP=
1
1
，點(diǎn)Q到AC的距離是
8
5
8
5
；
（2）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過程中，將△APQ的面積S用關(guān)于t的代數(shù)式來表示；（不必寫出t的取值范圍）
（3）在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t所有可能的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•遵義）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動(dòng)點(diǎn)M，N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點(diǎn)A，B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng)，連接PM，PN，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？
（2）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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