如圖,平面直角坐標(biāo)系中,Rt△OAB的OA邊在x軸上,OB邊在y軸上,且OA=2,A精英家教網(wǎng)B=
5
,將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得△OCD,已知點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2、2)
(1)求經(jīng)過(guò)D、C、E點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)M(x、y)是拋物線上任意點(diǎn),當(dāng)0<x<2時(shí),過(guò)M作x軸的垂線交直線AC于N,試探究線段MN是否存在最大值,若存在,求出最大值是多少?并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)P為直線AC上一動(dòng)點(diǎn),連接OP,作PF⊥OP交直線AE于F點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使△PAF是等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)在Rt△AOB中,已知OA、AB的長(zhǎng),可由勾股定理求得OB的值,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知OD=OB、OC=OA,由此可求出D、C的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.
(2)根據(jù)A、C的坐標(biāo),易求得直線AC的解析式,根據(jù)拋物線和直線AC的解析式,可得M、N縱坐標(biāo)的表達(dá)式,進(jìn)而可得關(guān)于MN的長(zhǎng)和x的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得MN的最大值及對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)坐標(biāo).
(3)首先設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo),根據(jù)直線AC的解析式表示出點(diǎn)P的縱坐標(biāo),易求得直線OP的解析式,由于PF⊥OP,那么直線OP、PF的斜率的積為-1,再結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)可得直線PF的解析式,然后將點(diǎn)F的橫坐標(biāo)代入直線PF的解析式中,即可求得F點(diǎn)的縱坐標(biāo)(此過(guò)程,也可過(guò)P作x軸、AE的垂線,由全等三角形來(lái)求得).進(jìn)而可得PF2、PA2、AF2的表達(dá)式,然后分:①PF=PA、②PF=AF、③PA=AF,三種情況,分別列出三個(gè)不同的等量關(guān)系式,從而求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).需要注意的是P點(diǎn)橫坐標(biāo)不能為1和2,因?yàn)檫@兩種情況下,不能構(gòu)成△PAF.
解答:解:(1)在Rt△AOB中,AB=
5
,OA=2,由勾股定理得:OB=1;
由于△ODC是由△OBA旋轉(zhuǎn)90°所得,
所以O(shè)B=OD=1,OA=OC=2,
因此D(-1,0),C(0,2),A(2,0),
∵E(2,2),
設(shè)拋物線的解析式為:y=ax2+bx+c,則有:
c=2
a-b+c=0
4a+2b+c=2
,
解得
a=-
2
3
b=
4
3
c=2
;
∴拋物線的解析式為:y=-
2
3
x2+
4
3
x+2.

(2)∵A(2,0),C(0,2),
∴直線AC:y=-x+2;
∴M(x,-
2
3
x2+
4
3
x+2),N(x,-x+2);
故MN=-
2
3
x2+
4
3
x+2-(-x+2)=-
2
3
x2+
7
3
x=-
2
3
(x-
7
4
2+
49
24
,
因此當(dāng)x=1,即M(
7
4
55
24
)時(shí),MN取最大值,且最大值為
49
24


(3)由于P在直線AC上,
所以設(shè)P(a,-a+2)(a≠1且a≠2),
則直線OP:y=
2-a
a
x;
由于PF⊥OP,可設(shè)直線PF:y=
a
a-2
x+h,則有:
a
a-2
×a+h=-a+2,h=-a+2-
a2
a-2
=
-2a2+4a-4
a-2
,
即直線PF:y=
a
a-2
x+
-2a2+4a-4
a-2
;
當(dāng)x=2時(shí),y=
2a-a2+4a-4
a-2
=-2a+2;
∴P(a,-a+2),F(xiàn)(2,-2a+2),A(2,0),
∴PF2=(a-2)2+a2,PA2=(2-a)2+(a-2)2=2(a-2)2,AF2=(-2a+2)2,
①當(dāng)PF=PA時(shí),PF2=PA2,則有:
(a-2)2+a2=2(a-2)2,
解得a=1(不合題意,舍去);
故此種情況不成立;
②當(dāng)PF=AF時(shí),PF2=AF2,則有:
(a-2)2+a2=(-2a+2)2,
解得a=0,a=2(舍去),
∴P(0,2);
③當(dāng)PA=AF時(shí),PA2=AF2,則有:
2(a-2)2=(-2a+2)2
解得a=±
2
,
∴P(
2
,2-
2
)或P(-
2
,2+
2
);
綜上所述,存在符合條件的P點(diǎn),且坐標(biāo)為:P1(0,2),P2
2
,2-
2
),P3(-
2
,2+
2
).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應(yīng)用、勾股定理、等腰三角形的構(gòu)成情況等知識(shí);(3)題中,由于等腰三角形的腰和底不確定,一定要分類討論,以免漏解.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,平面直角坐標(biāo)系中,O為直角三角形ABC的直角頂點(diǎn),∠B=30°,銳角頂點(diǎn)A在雙曲線y=
1x
上運(yùn)動(dòng),則B點(diǎn)在函數(shù)解析式
 
上運(yùn)動(dòng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,平面直角坐標(biāo)系中,⊙P與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,-1),AB精英家教網(wǎng)=2
3

(1)求⊙P的半徑.
(2)將⊙P向下平移,求⊙P與x軸相切時(shí)平移的距離.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,平面直角坐標(biāo)系中,OB在x軸上,∠ABO=90°,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2).將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,則點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(  )

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖:平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(a,0),B(b,0),C(0,c),且a,b,c滿足
a+2
+|b-2|+(c-b)2=0
.點(diǎn)D為線段OA上一動(dòng)點(diǎn),連接CD.
(1)判斷△ABC的形狀并說(shuō)明理由;
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)D作CD的垂線,過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線,兩垂線交于點(diǎn)G,作GH⊥AB于H,求證:
S△CAD
S△DGH
=
AD
GH
;
(3)如圖,若點(diǎn)D到CA、CO的距離相等,E為AO的中點(diǎn),且EF∥CD交y軸于點(diǎn)F,交CA于M.求
FC+2AE
3AM
的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖在平面直角坐標(biāo)系中,A點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6)C是線段AB的中點(diǎn).請(qǐng)問(wèn)在y軸上是否存在一點(diǎn)P,使得以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?若存在,求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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