如圖,對(duì)稱軸為直線x=的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(6,0)和B(0,4).
(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)E(x,y)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且位于第四象限,四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形,求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
①當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí),請(qǐng)判斷平行四邊形OEAF是否為菱形?
②是否存在點(diǎn)E,使平行四邊形OEAF為正方形?若存在,求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:(1)已知了拋物線的對(duì)稱軸解析式,可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線,然后將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可.
(2)平行四邊形的面積為三角形OEA面積的2倍,因此可根據(jù)E點(diǎn)的橫坐標(biāo),用拋物線的解析式求出E點(diǎn)的縱坐標(biāo),那么E點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即為△OAE的高,由此可根據(jù)三角形的面積公式得出△AOE的面積與x的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)而可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式.
①將S=24代入S,x的函數(shù)關(guān)系式中求出x的值,即可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)和OE,OA的長;如果平行四邊形OEAF是菱形,則需滿足平行四邊形相鄰兩邊的長相等,據(jù)此可判斷出四邊形OEAF是否為菱形.
②如果四邊形OEAF是正方形,那么三角形OEA應(yīng)該是等腰直角三角形,即E點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,-3)將其代入拋物線的解析式中即可判斷出是否存在符合條件的E點(diǎn).
解答:解:(1)因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是x=,
設(shè)解析式為y=a(x-2+k.
把A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式,得,
解得a=,k=-
故拋物線解析式為y=(x-2-,頂點(diǎn)為(,-).

(2)∵點(diǎn)E(x,y)在拋物線上,位于第四象限,且坐標(biāo)適合y=(x-2-
∴y<0,
即-y>0,-y表示點(diǎn)E到OA的距離.
∵OA是OEAF的對(duì)角線,
∴S=2S△OAE=2××OA•|y|=-6y=-4(x-2+25.
因?yàn)閽佄锞€與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是(1,0)和(6,0),
所以自變量x的取值范圍是1<x<6.
①根據(jù)題意,當(dāng)S=24時(shí),即-4(x-2+25=24.
化簡(jiǎn),得(x-2=
解得x1=3,x2=4.
故所求的點(diǎn)E有兩個(gè),
分別為E1(3,-4),E2(4,-4),
點(diǎn)E1(3,-4)滿足OE=AE,
所以平行四邊形OEAF是菱形;
點(diǎn)E2(4,-4)不滿足OE=AE,
所以平行四邊形OEAF不是菱形;
②當(dāng)OA⊥EF,且OA=EF時(shí),平行四邊形OEAF是正方形,
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)只能是(3,-3),
而坐標(biāo)為(3,-3)的點(diǎn)不在拋物線上,
故不存在這樣的點(diǎn)E,使平行四邊形OEAF為正方形.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、平行四邊形的性質(zhì)、菱形和正方形的判定等知識(shí).綜合性強(qiáng),難度適中.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•莒南縣二模)如圖,對(duì)稱軸為直線x=-
72
的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-6,0)和點(diǎn)B(0,4).
(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)E(x,y)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且位于第三象限,四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形,求?OEAF的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
①當(dāng)?OEAF的面積為24時(shí),請(qǐng)判斷?OEAF是否為菱形?
②是否存在點(diǎn)E,使?OEAF為正方形?若存在,求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.•
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,對(duì)稱軸為直線x=-2的拋物線經(jīng)過A(-3,0)和B(0,-3).
(1)求拋物線解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)D(m,n)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且位于第二象限,四邊形ODAE是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形.
①當(dāng)四邊形ODAE的面積為
94
時(shí),請(qǐng)判斷四邊形ODAE是否為菱形?并說明理由;
②當(dāng)點(diǎn)E也剛好落在拋物線上時(shí).求m的值;
(3)設(shè)拋物線與x軸另一交點(diǎn)為C,拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PBC為直角三角形?若存在,直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,對(duì)稱軸為直線x=
72
的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(6,0)和B(0,4).
(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)E(x,y)是拋物線上位于第四象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),將△OAE繞OA的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,點(diǎn)E落到點(diǎn)F的位置.求四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
①當(dāng)四邊形OEAF的面積為24時(shí),請(qǐng)判斷四邊形OEAF的形狀.
②是否存在點(diǎn)E,使四邊形OEAF為正方形?若存在,求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)若點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn),以P、A、D為頂點(diǎn)作平行四邊形,該平行四邊形的另一頂點(diǎn)在y軸上,請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,對(duì)稱軸為直線x=
72
的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(6,0)和B(0,4).
(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)E(x,y)是拋物線第四象限上一動(dòng)點(diǎn),四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形,求?OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出自變量的取值范圍;
(3)若S=24,試判斷?OEAF是否為菱形;
(4)若點(diǎn)E在(1)中的拋物線上,點(diǎn)F在對(duì)稱軸上,以O(shè)、E、A、F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形?若能,求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由.(第(4)問不寫解答過程,只寫結(jié)論)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知如圖,對(duì)稱軸為直線x=4的拋物線y=ax2+2x與x軸相交于點(diǎn)B、O.
(1)求拋物線的解析式.
(2)連接AB,平移AB所在的直線,使其經(jīng)過原點(diǎn)O,得到直線l.點(diǎn)P是l上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PAB的周長最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)當(dāng)△PAB的周長最小時(shí),在直線AB的上方是否存在一點(diǎn)Q,使以A,B,Q為頂點(diǎn)的三角形與△POB相似?若存在,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.(規(guī)定:點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不為點(diǎn)O)

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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