28、已知如圖1:△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分線相交于點O,過點O作EF∥BC交AB、AC于E、F.
①圖中有幾個等腰三角形?請說明EF與BE、CF間有怎樣的關系.

②若AB≠AC,其他條件不變,如圖2,圖中還有等腰三角形嗎?如果有,請分別指出它們.另第①問中EF與BE、CF間的關系還存在嗎?
③若△ABC中,∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于O,過O點作OE∥BC交AB于E,交AC于F.如圖3,這時圖中還有哪幾個等腰三角形?EF與BE、CF間的關系如何?為什么?
分析:(1)根據(jù)EF∥BC,∠B、∠C的平分線交于O點,可得∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,∠EOB=∠OBE,∠FCO=∠FOC,再加上題目中給出的AB=AC,共5個等腰三角形;根據(jù)等腰三角形的性質,即可得出EF與BE、CF間有怎樣的關系.
(2)根據(jù)EF∥BC 和∠B、∠C的平分線交于O點,還可以證明出△OBE和△OCF是等腰三角形;利用幾個等腰三角形的性質即可得出EF與BE,CF的關系.
(3)EO∥BC和OB,OC分別是∠ABC與∠ACL的角平分線,還可以證明出△BEO和△CFO是等腰三角形.
解答:(1)有5個等腰三角形,EF與BE、CF間有怎樣的關系是:EF=BE+CF=2BE=2CF,
證明:∵EF∥BC,∴有∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,
又∠B、∠C的平分線交于O點,
∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB,
∴∠EOB=∠OBE,∠FCO=∠FOC,
∴OE=BE,OF=CF,
∴EF=OF+OE=BE+CF.
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB,
∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC,
∴EF=BE+CF=2BE=2CF;

(2)有2個等腰三角形分別是:等腰△OBE和等腰△OCF;
第一問中的EF與BE,CF的關系是:EF=BE+CF.

(3)有,還是有2個等腰三角形,△EBO,△AEF,EF=BE-CF,
證明:∵EO∥BC,
∴∠EOB=∠OBC,∠EOC=∠OCG(G是BC的BC延長線上的一點)
又∵OB,OC分別是∠ABC與∠ACG的角平分線
∴∠EBO=∠OBC,∠ACO=∠OCG,
∴∠EOB=∠EBO,
∴BE=OE,
∠FCO=∠FOC,
∴CF=FO,
又∵EO=EF+FO,
∴EF=BE-CF.
點評:此題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質和平行線性質的理解和掌握,此題難度并不大,但是步驟繁瑣,屬于中檔題,還有第(1)中容易忽略△ABC也是等腰三角形,因此這又是一道易錯題.要求學生在證明此題時一定要仔細,認真.
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