Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)和函數(shù)，不論取何值，都取與二者之中的較小值.

1.求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式

2.現(xiàn)有二次函數(shù)，若函數(shù)和都隨著的增大而減小，求自變

量的取值范圍

3.在（2）的結(jié)論下，若函數(shù)和的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

1.       ……………………………………….……..2分

（說明：兩個(gè)自變量取值范圍都含有等號(hào)或其中一個(gè)含等號(hào)均不扣分，都沒等號(hào)扣1分）

2.對(duì)函數(shù)，當(dāng)隨的增大而減小，

，         ………………………………………..…….3分

又函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，            …………………………….……..4分

且，

當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，            ………………………….……..5分

                  …………………………………….…………….…..6分

3.①若函數(shù)與只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)在范圍內(nèi).

     則，

       ，

        ，

      得           …………………………….…………….…7分

      此時(shí)，符合，  ………….…………..….…8分

    

②若函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)在范圍內(nèi)，另一個(gè)交點(diǎn)在范圍外.則， 即，   ………….…9分

方法一：對(duì)，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).

又當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，      ……….………10分

  若與在內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，

則當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，

即當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).

也即   解得，        ……….……..…11分

由，得             …………………………..…12分

綜上所述，的取值范圍是：或.

方法二：由函數(shù)與的一個(gè)交點(diǎn)在范圍內(nèi)，另一個(gè)交點(diǎn)在范圍外，可得：  或

解第一個(gè)不等式組，可得 即無解；         …….………10分

解第二個(gè)不等式組，可得 即，      ….………11分

由，得.          ……………………………..…12分

【解析】（1）有題意可知y₁和y₂交于(2,4),當(dāng)x小于2時(shí)，y₁和y₂中y₁較小，當(dāng)x大于2時(shí)，y₁和y₂中y₂較小，當(dāng)x=2時(shí)，y₁=y₂，因此，y₀是關(guān)于x的分段函數(shù)，當(dāng)x<2時(shí)，y₀=-x+6，當(dāng)x>2時(shí)，y₀=2x

（2）因?yàn)閷?duì)函數(shù)，當(dāng)隨的增大而減小，所以y₀=-x+6, 函數(shù)的對(duì)稱軸為直線,且，所以自變量的取值范圍

（3）分兩種情況討論：①若函數(shù)與只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)在范圍內(nèi).；②若函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)在范圍內(nèi)，另一個(gè)交點(diǎn)在范圍外