Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形AOCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4），現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿線(xiàn)段OC（不包括端點(diǎn)O，C）以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線(xiàn)段CD（不包括端點(diǎn)C，D）以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)t=2（秒）時(shí)，PQ=2．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出t的取值范圍；
（2）連接AQ并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E，把AE沿AD翻折交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接EF，則△AEF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；若不變化，求出S的值；
（3）在（2）的條件下，t為何值時(shí)，四邊形APQF是梯形？

Answer 1

（1）D（8，4），0＜t＜4；（2）不變化；（3）t=（6﹣2）

試題分析：（1）先求出t=2秒時(shí)OP、CQ的長(zhǎng)，在Rt△PCQ中，由勾股定理可求得PC的長(zhǎng)，從而得到OC的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P、點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間即得t的取值范圍；
（2）先根據(jù)矩形的性質(zhì)證得△AQD∽△EQC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出CE的長(zhǎng)，由翻折變換的性質(zhì)可知DF=DQ=4﹣t，即可得到CF=CD+DF=8﹣t，再根據(jù)S=S_梯形AOCF+S_△FCE﹣S_△AOE即可得到結(jié)果；
（3）若四邊形APQF是梯形，因?yàn)锳P與CF不平行，所以只有PQ∥AF，即得△CPQ∽△DAF，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得t的值，再結(jié)合（1）中＜t＜4即可得到結(jié)果.
（1）由題意可知，當(dāng)t=2（秒）時(shí)，OP=4，CQ=2，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC===4，
∴OC=OP+PC=4+4=8
又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）．
點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間為=4秒，點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間為=4秒，
由題意可知，t的取值范圍為：0＜t＜4；
（2）結(jié)論：△AEF的面積S不變化．
∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC，
∴，即，解得CE=．
由翻折變換的性質(zhì)可知：DF=DQ=4﹣t，則CF=CD+DF=8﹣t．
S=S_梯形AOCF+S_△FCE﹣S_△AOE=（OA+CF）•OC+CF•CE﹣OA•OE=×8+（8﹣t）•﹣×4×（8+）
化簡(jiǎn)得S=32為定值．所以△AEF的面積S不變化，S=32；
（3）若四邊形APQF是梯形，因?yàn)锳P與CF不平行，所以只有PQ∥AF．
由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF，
∴，即，
化簡(jiǎn)得t²﹣12t+16=0，
解得：t₁=6+2，t₂=6﹣2，
由（1）可知，0＜t＜4，
∴t₁=6+2不符合題意，舍去．
∴當(dāng)t=（6﹣2）秒時(shí)，四邊形APQF是梯形．
點(diǎn)評(píng)：動(dòng)點(diǎn)的綜合題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見(jiàn)，一般壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.