Question

如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D. 點P、Q分別從B、C兩點同時發(fā)，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s；點Q沿CA、AB向終點B運動，速度為2cm/s，設它們運動的時間為x(s).

（1）當x=__________時，PQ⊥AC， x=__________時，PQ⊥AB.

（2）設△PQD的面積為y(cm²)，當0<x<2時，求y與x的函數(shù)關系式為__________.

（3）當0<x<2時，求證：AD平分△PQD的面積；

（4）探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關系，請寫出相應位置關系的x的取值范圍（不要求寫出過程）.

Answer 1

（1）

解：當Q在AB上時，顯然PQ不垂直于AC. 當Q在AC上時，由題意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x，∵AB=BC=CA=4  ∴∠C=60°；若PQ⊥AC，則有∠QPC=30°，∴PC=2CQ，∴4-x=2×2x,  ∴，當（Q在AC上）時，PQ⊥AC，如圖：①當PQ⊥AB時，BP=x，BQ=，AC+AQ=2x，∵AC=4，∴AQ=2x-4，∴  ∴，故時PQ⊥AB.

（2）

解：如圖②，當0<x<2時，P在BD上，Q在AC上，過點Q作QH⊥BC于H，

∵∠C=60°，QC=2x，∴QH=QC×sin60°=x ，∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∴DP=2-x，∴

（3）當0<x<2時，在Rt△QHC中，QC=2x，∠C=60°， ∴HC=x，∴BP=HC，∴BD=CD， ∴DP=DH

∵AD⊥BC，QH⊥BC   ∴AD∥QH， ∴OP=OQ ∴  ∴AD平分△PQD的面積

（4）顯然，不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離. 當時，以PQ為直徑的圓與AC相切. 當時，以PQ為直徑的圓與AC相交.