Question

在平面直角坐標系中，點0是坐標原點，四邊形OABC為矩形，0A邊在x軸上，OC邊在y軸上，OB是矩形的對角線，點B的坐標是（8，4），點D在x軸上，∠OBC=∠OBD
（1）求點D的坐標；
（2）點P從點0出發(fā)，沿0-B--C方向勻速運動，到達點C停止運動，點P運動的速度是2個單位/秒，設△PBD的面積為S，點P的運動時間為t，求S與t之間的函數(shù)關系式（直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，點P的運動過程中，是否存在點P，使tan∠APD=？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由矩形的對邊平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，再由已知的一對角相等，等量代換得到一對角相等，再利用等角對等邊得到BD=OD，由B的坐標求出BC與AB的長，設BD=OD=x，由OA-OD表示出AD的長，在直角三角形ABD中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出D的坐標；
（2）由AB與OA的長，利用勾股定理求出OB的長，分兩種情況考慮：P在OB上運動時與P在BC上運動時，分別表示出面積S與t的關系式即可；
（3）P在三個位置時滿足題意，P為OB中點，P與B重合，DP垂直于BC時，分別求出P的坐標即可．
解答：解：（1）∵BC∥AO，
∴∠OBC=∠BOA，
∵∠OBC=∠OBD，
∴∠BOA=∠OBD，
∴BD=OD，
∵B（8，4），即BC=OA=8，AB=CO=4，
∴設BD=OD=x，則有AD=OA-OD=8-x，
在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：BD²=AD²+AB²，即x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
∴OD=5，即D（5，0）；

（2）過D作DE⊥OB，交OB于點E，連接PD，如圖1所示，
∴∠BED=90°，
在Rt△AOB中，OA=8，AB=4，
根據(jù)勾股定理得：OB==4，
∵BD=OD，
∴E為OB的中點，即BE=OB=2，
∵∠CBO=∠DBO，
∴tan∠CBO====tan∠DBO，
∴tan∠DBO==，即DE=，
∵OP=2t，∴PB=OB-OP=4-2t，
當0＜t＜2時，S_△BDP=PB•DE=××（4-2t）=-5t+10；
過D作DE⊥BC，交BC于點E，連接PD，如圖2所示，
∵∠DEB=∠EBA=∠BAO=90°，
∴四邊形ABED為矩形，
∴DE=AB=4，
∵PB=2t-4，
當2＜t＜2+時，S_△BDP=PB•DE=×4×（2t-4）=t-；

（3）分三種情況，
當P₁在OB的中點，即P₁（4，2）時，由ABP1D四點共圓，得到∠AP₁D=∠ABD，
則tan∠AP₁D=tan∠ABD==；
當P₂與B重合時，P₂（8，4），顯然tan∠AP₂D=tan∠ABD=；
當DP₃⊥BC時，△ABD≌△P₃DB，∴∠AP₃D=∠ABD，
則tan∠AP₃D=tan∠ABD==，此時P₃（5，4），
綜上，滿足題意的坐標為：P₁（4，2），P₂（8，4），P₃（5，4）．

點評：此題考查了相似型綜合題，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，坐標與圖形性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，利用了數(shù)形結合及分類討論的思想，分類討論時注意考慮問題要全面，做到不重不漏．